Question

如圖，AB是⊙O₁與⊙O₂的公共弦，O₁在⊙O₂上，BD，O₁C分別是⊙O₁與⊙O₂的直徑，CA與BD的延長線交于E點，AB與O₁C相交于M點．
（1）求證：EA是⊙O₁的切線；
（2）連接AD，求證：AD∥O₁C；
（3）若DE=1，設(shè)⊙O₁與⊙O₂的半徑分別為r，R，且，求r的長．

Answer 1

（1）證明：連接O₁A，
∵O₁C是⊙O₂的直徑，
∴∠O₁AC=90°，
∴O₁A⊥AE．
又∵點A在⊙O₁上，
∴AE是⊙O₁的切線．

（2）證明：在⊙O₂中，∠O₁BA與∠O₁CA都是上的圓周角，
∴∠O₁BA=∠O₁CA．
在⊙O₁中，由弦切角定理，得∠DAE=∠O₁BA，
∴∠O₁CA=∠DAE．
∴AD∥O₁C．

（3）解：∵，R=2r，
在Rt△AO₁C中，O₁A²=O₁M•O₁C，r²=O₁M•2R=O₁M•4r，
即O₁M=r．
∵在Rt△BAD中，O₁M∥AD，
∴．
即，．①
∵在△EO₁C中，AD∥O₁C，
∴
即；②
由①和②得，解之，得r=7．

（3）解法二：∵∠DBA=∠O₁CA，∠DAB=∠O₁AC=90°，
∴△DBA∽△O₁CA．
又∵，
∴．
設(shè)DA=x，
∴O₁D=O₁A=2x，O₁C=8x．
∵DA∥O₁C，ED=1，EO₁=1+2x，
∴，
解之，得．
∴r=2x=7．
分析：（1）連接O₁A，根據(jù)圓周角的性質(zhì)，易得O₁A⊥AE；故AE是⊙O₁的切線．
（2）根據(jù)圓周角定理，可得∠O₁BA=∠O₁CA；在⊙O₁中，根據(jù)弦切角定理易得∠DAE=∠O₁BA；變化可得AD∥O₁C；
（3）根據(jù)題意有R=2r；在Rt△AO₁C中根據(jù)切割線定理可得O₁M=r；再根據(jù)平行線的性質(zhì)；易得，代入數(shù)據(jù)即可得到答案．
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定、線線平行的證明及線段長度的求法，要求學(xué)生掌握常見的解題方法，并能結(jié)合圖形選擇簡單的方法解題．