Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，OC和AB相交于點E，點D在OC的延長線上，且∠B=∠D=∠BAC=30°．

（1）試判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）AB=6，求⊙O的半徑．

Answer 1

考點：

切線的判定；解直角三角形．

分析：

（1）連接OA，求出∠AOC=2∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠OAD，根據(jù)切線判定推出即可；

（2）求出∠AEC=90°，根據(jù)垂徑定理求出AE，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求出AC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出即可．

解答：

解：（1）直線AD與⊙O相切．理由如下：

如圖，連接OA．

∵∠B=30°，

∴∠AOC=2∠B=60°，

∴∠OAD=180°﹣∠AOD﹣∠D=90°，

即OA⊥AD，

∵OA為半徑，

∴AD是⊙O的切線．

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，

∴△ACO是等邊三角形，

∴∠ACO=60°，AC=OA，

∴∠AEC=180°﹣∠EAC﹣∠ACE=90°，

∴OC⊥AB，

又∵OC是⊙O的半徑，

∴AE=AB=6=3，

在Rt△ACE中，sin∠ACE==sin 60°，

∴AC=6，

∴⊙O的半徑為6．

點評：

本題考查了切線的判定，含30度角的直角三角形，銳角三角函數(shù)的定義，等邊三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查了學生綜合運用性質(zhì)進行推理的能力．