Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，0），B（3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，且以A，O，D，E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（3）P是拋物線上第二象限內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P使得以點(diǎn)P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2-2x；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-，)或（-3，15）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)拋物線過(guò)A（2，0）及原點(diǎn)可設(shè)y=a（x-2）x，然后根據(jù)拋物線y=a（x-2）x過(guò)B（3，3），求出a的值即可；

（2）首先由A的坐標(biāo)可求出OA的長(zhǎng)，再根據(jù)四邊形AODE是平行四邊形，D在對(duì)稱(chēng)軸直線x=-1右側(cè)，進(jìn)而可求出D橫坐標(biāo)為：-1+2=1，代入拋物線解析式即可求出其橫坐標(biāo)；

（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，從而表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入求得的拋物線的解析式即可求得t的值，從而確定點(diǎn)P的坐標(biāo)．

試題解析：（1）根據(jù)拋物線過(guò)A（2，0）及原點(diǎn)，可設(shè)y=a（x-2）（x-0），

又∵拋物線y=a（x-2）x過(guò)B（3，3），

∴3（3-2）a=3，

∴a=1，

∴拋物線的解析式為y=（x-2）x=x2-2x；

（2）①若OA為對(duì)角線，則D點(diǎn)與C點(diǎn)重合，點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為D（1，-1）；

②若OA為平行四邊形的一邊，則DE=OA，∵點(diǎn)E在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，

∴點(diǎn)E橫坐標(biāo)為1，

∴點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為3或-1，代入y=x2-2x得D（3，3）和D（-1，3），

綜上點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，-1），（3，3），（-1，3）．

（3）∵點(diǎn)B（3，3）C（1，-1），

∴△BOC為直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，

①如圖1，

若△PMA∽△COB，設(shè)PM=t，則AM=3t，

∴點(diǎn)P（2-3t，t），

代入y=x2-2x得（2-3t）2-2（2-3t）=t，

解得t1=0（舍），t2=，

∴P(-，)；

②如圖2，

若△PMA∽△BOC，

設(shè)PM=3t，則AM=t，點(diǎn)P（2-t，3t），代入y=x2-2x得（2-t）2-2（2-t）=3t，

解得t1=0（舍），t2=5，

∴P（-3，15）

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-，)或（-3，15）．