【題目】如圖1,點P、Q分別是等邊△ABC邊AB、BC上的動點(端點除外),點P從頂點A、點Q從頂點B同時出發(fā),且它們的運動速度相同,連接AQ、CP交于點M.
(1)求證:△ABQ≌△CAP;
(2)當點P、Q分別在AB、BC邊上運動時,∠QMC變化嗎?若變化,請說明理由;若不變,求出它的度數(shù).
(3)如圖2,若點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動,直線AQ、CP交點為M,則∠QMC變化嗎?若變化,請說明理由;若不變,直接寫出它的度數(shù).
【答案】(1)證明見解析;(2)點P、Q在運動的過程中,∠QMC不變.理由見解析.(3)不變,理由見解析.
【解析】試題分析:(1)、根據(jù)等邊三角形可得∠ABQ=∠CAP,AB=CA,根據(jù)速度相同可得AP=BQ,從而得出三角形全等;(2)、根據(jù)△ABQ≌△CAP得出∠BAQ=∠ACP,然后根據(jù)∠QMC=∠BAQ+∠MAC得出答案;(3)、根據(jù)△ABQ≌△CAP得出∠BAQ=∠ACP,然后根據(jù)∠QMC=∠BAQ+∠MAC得出答案.
試題解析:(1)、∵△ABC是等邊三角形 ∴∠ABQ=∠CAP,AB=CA, 又∵點P、Q運動速度相同,
∴AP=BQ, 在△ABQ與△CAP中,AB=AC,∠ABQ=∠CAP,AP=BQ ∴△ABQ≌△CAP(SAS);
(2)、點P、Q在運動的過程中,∠QMC不變.
理由:∵△ABQ≌△CAP, ∴∠BAQ=∠ACP, ∵∠QMC=∠ACP+∠MAC, ∴∠QMC=∠BAQ+∠MAC=∠BAC=60°
(3)、點P、Q在運動到終點后繼續(xù)在射線AB、BC上運動時,∠QMC不變.
理由:∵△ABQ≌△CAP, ∴∠BAQ=∠ACP, ∵∠QMC=∠BAQ+∠APM,
∴∠QMC=∠ACP+∠APM=180°-∠PAC=180°-60°=120°
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分線交邊AB于D點,交邊AC于E點,若△ABC與△EBC的周長分別是40cm,24cm,則AB=________cm.
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【題目】((2016甘肅省蘭州市)對于一個矩形ABCD及⊙M給出如下定義:在同一平面內(nèi),如果矩形ABCD的四個頂點到⊙M上一點的距離相等,那么稱這個矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”.如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線l:交x軸于點M,⊙M的半徑為2,矩形ABCD沿直線運動(BD在直線l上),BD=2,AB∥y軸,當矩形ABCD是⊙M的“伴侶矩形”時,點C的坐標為 .
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【題目】在某校舉辦的足球比賽中,規(guī)定:勝一場得3分,平一場得1分,負一場得0分.某班足球隊參加了12場比賽,共得22分,已知這個球隊只輸了2場,那么此隊勝幾場,平幾場?
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【題目】((2016江西。┤鐖D,將正n邊形繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°后,發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點O,連接AO,我們稱AO為“疊弦”;再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°后,交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點P,連接PO,我們稱∠OAB為“疊弦角”,△AOP為“疊弦三角形”.
【探究證明】
(1)請在圖1和圖2中選擇其中一個證明:“疊弦三角形”(△AOP)是等邊三角形;
(2)如圖2,求證:∠OAB=∠OAE′.
【歸納猜想】
(3)圖1、圖2中的“疊弦角”的度數(shù)分別為 , ;
(4)圖n中,“疊弦三角形” 等邊三角形(填“是”或“不是”)
(5)圖n中,“疊弦角”的度數(shù)為 (用含n的式子表示)
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【題目】((2016北京市)在平面直角坐標系xOy中,點P的坐標為(,),點Q的坐標為(,),且,,若P,Q為某個矩形的兩個頂點,且該矩形的邊均與某條坐標軸垂直,則稱該矩形為點P,Q的“相關(guān)矩形”.下圖為點P,Q 的“相關(guān)矩形”的示意圖.
(1)已知點A的坐標為(1,0).
①若點B的坐標為(3,1)求點A,B的“相關(guān)矩形”的面積;
②點C在直線x=3上,若點A,C的“相關(guān)矩形”為正方形,求直線AC的表達式;
(2)⊙O的半徑為,點M的坐標為(m,3).若在⊙O上存在一點N,使得點M,N的“相關(guān)矩形”為正方形,求m的取值范圍.
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