Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF、CF，則下列結(jié)論中一定成立的是（　　）

①∠DCF=∠BCD；②EF=CF；③S_△BEC=2S_△CEF；④∠DFE=3∠AEF．

A．①② B．②③④     C．①②④     D．①②③④

Answer 1

C【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線．

【分析】由在平行四邊形ABCD中，AD=2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，易得AF=FD=CD，繼而證得①∠DCF=∠BCD；然后延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，分別利用平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)得出△AEF≌△DMF（ASA），得出對(duì)應(yīng)線段之間關(guān)系進(jìn)而得出答案．

【解答】解：①∵F是AD的中點(diǎn)，

∴AF=FD，

∵在▱ABCD中，AD=2AB，

∴AF=FD=CD，

∴∠DFC=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠DFC=∠FCB，

∴∠DCF=∠BCF，

∴∠DCF=∠BCD，故此選項(xiàng)正確；

②延長(zhǎng)EF，交CD延長(zhǎng)線于M，

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB∥CD，

∴∠A=∠MDF，

∵F為AD中點(diǎn)，

∴AF=FD，

在△AEF和△DFM中，

，

∴△AEF≌△DMF（ASA），

∴FE=MF，∠AEF=∠M，

∵CE⊥AB，

∴∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ECD=90°，

∵FM=EF，

∴FC=FM，故②正確；

③∵EF=FM，

∴S_△EFC=S_△CFM，

∵M(jìn)C＞BE，

∴S_△BEC＜2S_△EFC

故S_△BEC=2S_△CEF錯(cuò)誤；

④設(shè)∠FEC=x，則∠FCE=x，

∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，

∴∠EFC=180°﹣2x，

∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，

∵∠AEF=90°﹣x，

∴∠DFE=3∠AEF，故此選項(xiàng)正確．

故選C．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，得出△AEF≌△DME是解題關(guān)鍵．