Question

2．已知：如圖，直線y=-$\frac{1}{2}$x+4與x軸交于A點(diǎn)，與y軸交于B點(diǎn)．點(diǎn)C是x軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，且滿足OC：BC=3：5．
（1）求線段BC的長；
（2）設(shè)點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O對稱的點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)M作直線l平行于y軸．試問在直線l上是否存在點(diǎn)P，使得△ABP是以AB為一條直角邊的直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）若點(diǎn)G是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)G作GD∥BC，交AB于點(diǎn)D，連結(jié)BG，設(shè)點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為t，△BGD的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由OC：BC=3：5，設(shè)出BC的長度為5a，OC長度為3a，由直線與y軸交點(diǎn)為B，可求出B點(diǎn)坐標(biāo)，由勾股定理即可求出a的值，從而得出結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，由于△ABP是以AB為一條直角邊的直角三角形分兩種情況，故分兩種情況考慮，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式及勾股定理即可得出結(jié)論；
（3）由相似三角形的性質(zhì)找出AD的長度，從而得出BD的長度，再結(jié)合點(diǎn)到直線的距離與三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)線段BC的長度為5a，則OC=3a．
令x=0，y=4；
令y=0，-$\frac{1}{2}$x+4=0，解得：x=8．
即點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8，0），
∴OB=4，OA=8．
由勾股定理得：OB=$\sqrt{B{C}^{2}-O{C}^{2}}$=4a=4，
解得：a=1，
故線段BC的長為5．
（2）∵OC=3a=3，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-3，0），
又∵點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)O對稱的點(diǎn)為點(diǎn)M，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，0），
∴直線l的解析式為x=3．
假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，m），
由兩點(diǎn)間的距離公式可知：
PA=$\sqrt{（3-8）^{2}+（m-0）^{2}}$，PB=$\sqrt{（3-0）^{2}+（m-4）^{2}}$，AB=$\sqrt{（8-0）^{2}+（0-4）^{2}}$=4$\sqrt{5}$．
以AB為一條直角邊的直角三角形分兩種情況：
①當(dāng)∠ABP=90°時(shí)，有AB²+PB²=PA²，即8m=80，
解得：m=10，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，10）；
②當(dāng)∠PAB=90°時(shí)，有PA²+AB²=PB²，即-8m=80，
解得：m=-10，
此時(shí)點(diǎn)P坐標(biāo)為（3，-10）．
綜上可知：在直線l上存在點(diǎn)P，使得△ABP是以AB為一條直角邊的直角三角形，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，10）或（3，-10）．
（3）直線AB的解析式為y=-$\frac{1}{2}$x+4，即$\frac{1}{2}$x+y-4=0．
點(diǎn)G（t，0）到直線AB的距離h=$\frac{|\frac{1}{2}t-4|}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+{1}^{2}}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$|$\frac{1}{2}$t-4|，
∵點(diǎn)G在線段AC上，
∴-3≤t≤8，
∴h=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$t．
∵GD∥BC，
∴∠BCA=∠DGA，
又∵∠BAC=∠DAG，
∴△ABC∽△ADG，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{AG}{AC}$．
∵點(diǎn)A（8，0），點(diǎn)C（-3，0），點(diǎn)G（t，0），
∴AC=8-（-3）=11，AG=8-t，
又∵AB=4$\sqrt{5}$，
∴AD=$\frac{AG•AB}{AC}$=$\frac{4\sqrt{5}（8-t）}{11}$，
∴BD=AB-AD=$\frac{4\sqrt{5}（3+t）}{11}$．
△BGD的面積為S=$\frac{1}{2}$BD•h=$\frac{1}{2}$×$\frac{4\sqrt{5}（3+t）}{11}$×（$\frac{8\sqrt{5}}{5}$-$\frac{\sqrt{5}}{5}$t）=-$\frac{2}{11}$t²+$\frac{10}{11}$t+$\frac{48}{11}$（-3≤t≤8）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了勾股定理、兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離、相似三角形的判定及性質(zhì)和三角形的面積公式，解題的關(guān)鍵：（1）按照比例設(shè)出未知數(shù)a，結(jié)合勾股定理列出關(guān)于a的一元一次方程；（2）分哪個(gè)角為直角，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式和勾股定理得出關(guān)于m的一元一次方程；（3）由相似三角形找出BD的長度．本題屬于中檔題型，（1）難度不大；（2）容易遺漏一種情況造成失分；（3）數(shù)據(jù)稍顯繁瑣，需要耐心計(jì)算．