Question

13．如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點，F，E分別是AD及其延長線上的點，CF∥BE，連結BF，CE．
（1）求證：四邊形BFCE是平行四邊形；
（2）當邊AB、AC滿足什么條件時，四邊形BECF是菱形？并說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知各件，據AAS很容易證得：△BDE≌△CDF；
（2）連接BF、CE，由AB=AC，D是BC邊的中點，可知AD⊥BC，易證得△BFD≌△CFD，可得BF=CF；又因為（1）中△BDE≌△CDF得ED=FD，所以EF、BC互相垂直平分，根據菱形的性質，可得四邊形BECF是菱形．

解答 （1）證明：∵在△ABC中，D是BC邊的中點，
∴BD=CD，
∵CF∥BE，
∴∠CFD=∠BED，
在△CFD和△BED中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CFD=∠BED}&{\;}\\{CD=BD}&{\;}\\{∠FDC=∠EDB}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△BED（AAS），
∴CF=BE，
∴四邊形BFCE是平行四邊形；
（2）解：當AB=AC時，四邊形BECF是菱形；理由如下：
∵AB=AC，D是BC邊的中點，
∴AD⊥BC，
∴EF⊥BC，
∴四邊形BECF是菱形．

點評 本題主要考查了菱形的判定、平行四邊形的判定、全等三角形的判定與性質、平行線的性質、等腰三角形的性質；熟練掌握菱形的判定方法或等腰三角形的性質，證明三角形全等是解決問題的關鍵．