Question

如圖，AB是⊙O的直徑，C是半圓O上的一點，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足為D，AD交⊙O于E，連接CE。

（1）判斷CD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；

（2）若E是      的中點，⊙O的半徑為1，求圖中陰影部分的面積。

Answer 1

解（1）直線CD與⊙O相切。

   證明：連結AC，OA=OC，

∠OAC=∠OCA，

AC平分∠DAB，∠DAC=∠OAC，

∠DAC=∠OCA，AD//OC，AD⊥CD，OC⊥CD，CD與⊙O相切。

（2）連結OE，， 點E是  的中點，

，∠DAC=∠ECA（相等的弧所對的圓周角相等），

∠DAC=∠OAC（（1）中已證），∠ECA=∠OAC，CE//OA，AD//OC，

四邊形AOCE是平行四邊形，CE=OA，AE=OC，      OA=OC=OE=1，

OC=OE=CE=OA=AE=1，四邊形AOCE是菱形，△OCE是等邊三角形，

∠OCE=60º，∠OCD=90º，∠DCE=∠OCD-∠OCE=90º-60º=30º，

AD⊥CD，在Rt△DCE中，ED= CE = ,DC=cos30º•CE= ,

CE弧與CE弦所圍成部分的面積 = AE弧與AE弦所圍成部分的面積，

S_陰影=S_△DCE=•ED•DC=××= .

答：圖中陰影部分的面積為。