Question

如圖①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)B、C開始，以相同的速度在⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)．
（1）求圖①中∠APN的度數(shù)（寫出解題過程）；
（2）寫出圖②中∠APN的度數(shù)和圖③中∠APN的度數(shù)；
（3）試探索∠APN的度數(shù)與正多邊形邊數(shù)n的關(guān)系（直接寫答案）

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）由△ABC為等邊三角形可知∠ABC=60°，再由等速運(yùn)動(dòng)可得到∠ABP=∠NBC，再利用外角的性質(zhì)可得∠APN=∠ABP+∠BAP，代換可得到∠APN=∠ABC，可求得∠APN的度數(shù)；
（2）和（1）同理可得到∠APN的度數(shù)和∠ABC的度數(shù)相等，圖③中∠APN的度數(shù)和∠ABC的度數(shù)相等；
（3）結(jié)合（1）（2）可得到∠APN的度數(shù)等于多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，可得到結(jié)論．

解答：解：（1）∠APN=60°．
∵∠APN=∠ABP+∠BAP，
且點(diǎn)M、N以相同的速度中⊙O上逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)，
∴

BM

=

CN

，
∴∠ABP=∠NBC，
∴∠APN=∠ABP+∠NBC，
即∠APN=∠ABC=60°；
（2）同理：圖2中，∠APN=∠ABC=90°；圖3中，∠APN=∠ABC=108°；
（3）由（1）（2）可知∠APN的度數(shù)等于多邊形的內(nèi)角的度數(shù)，
當(dāng)正多邊形為n邊形時(shí)，其內(nèi)角和為（n-2）180°，
所以每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

(n-2)180°

n

，
所以∠APN=

(n-2)180°

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓周角定理及正多邊形的性質(zhì)，在（1）中利用弧相等得到角相等，從而得到∠APN和∠ABC的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，在（3）中總結(jié)得出∠APN的度數(shù)等于多邊形的內(nèi)角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．