Question

（2009•沙市區(qū)二模）如圖，已知BC是半圓O的直徑，弧AB=弧AF，AC與BF交于點(diǎn)M，AD⊥BC于D，交BF于E，求證：BE=EM．

Answer 1

【答案】分析：此題可以借助中間線段AE，分別證明AE=BE，AE=ME．首先根據(jù)等弦對(duì)等弧，得到弧AB=弧AF．再根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角和等角的余角相等，證明∠BAE=∠C．再根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等，得到∠ABE=∠C．從而證明∠ABE=∠BAE，再根據(jù)等角的余角相等得到∠EAM=∠AME．
解答：證明：∵弧AB=弧AF，
∴∠ACB=∠ABF．
∵BC是直徑，
∴∠BAC=90°．
又AD⊥BC，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠ACB+∠DAC=90°．
∴∠BAD=∠ACB．
∴∠BAD=∠ABF．
∴AE=BE．
∵∠BAM=90°，
∴∠BAD+∠DAC=90°，∠ABF+∠AMB=90°．
∴∠DAC=∠AMB．
∴EM=EA．
∴BE=EM．
點(diǎn)評(píng)：此題綜合運(yùn)用了圓周角定理的推論、等弧對(duì)等弦、等角的余角相等以及等角對(duì)對(duì)邊的性質(zhì)．