Question

已知拋物線(a≠0)的頂點(diǎn)在直線上，且過(guò)點(diǎn)A(4，0)．

⑴求這個(gè)拋物線的解析式；

⑵設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為P，是否在拋物線上存在一點(diǎn)B，使四邊形OPAB為梯形？若存在，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶設(shè)點(diǎn)C(1，－3)，請(qǐng)?jiān)趻佄锞�的對(duì)稱軸確定一點(diǎn)D，使的值最大，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)D的坐標(biāo).

 

Answer 1

【答案】

⑴⑵(－2，6)，理由見(jiàn)解析⑶(2，－6).

【解析】⑴∵拋物線過(guò)點(diǎn)(0，0)、(4，0)，

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線. ………………………………………………………1分

  ∵頂點(diǎn)在直線上，  ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2，－2). …………………………2分

  故設(shè)拋物線解析式為，

∵過(guò)點(diǎn)(0，0)，∴，∴拋物線解析式為………………………2分

⑵當(dāng)AP∥OB時(shí)，

  如圖，∠BOA＝∠OAP＝45°，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，則OH＝BH.

 

  設(shè)點(diǎn)B(x，x)，故，解得x＝6或x＝0(舍去)…………………………1分

∴B(6，6). …………………………………………………………………………1分

      當(dāng)OP∥AB時(shí)，同理設(shè)點(diǎn)B(4－x，x)

故，解得x＝6或x＝0(舍去)，∴B(－2，6) .……1分

 ⑶D(2，－6).………………………………………………………………………………2分

（1）利用待定系數(shù)法就可以求出這個(gè)拋物線的解析式，拋物線解析式為y=x²-2x；

（2）在拋物線上存在一點(diǎn)B，使四邊形OPAB為梯形．當(dāng)AP∥OB時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥x軸于H，則OH=BH，設(shè)點(diǎn)B（x，x），求出x=6，所以B（6，6）；

（3）在拋物線的對(duì)稱軸確定一點(diǎn)D，使|AD-CD|的值最大，點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，-3），要滿足|AD-CD|的值最大，則點(diǎn)D的坐標(biāo)（2，-6）．