Question

（2009•內(nèi)江）閱讀材料：
如圖，△ABC中，AB=AC，P為底邊BC上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P到兩腰的距離分別為r₁，r₂，腰上的高為h，連接AP，則S_△ARP+S_△ACP=S_△ABC，即：AB•r₁+AC•r₂=AC•h，∴r₁+r₂=h（定值）．
（1）理解與應(yīng)用：
如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E為對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，且BE=BC，F(xiàn)為CE上一點(diǎn)，F(xiàn)M⊥BC于M，F(xiàn)N⊥BD于N，試?yán)�用上述結(jié)論求出FM+FN的長(zhǎng)．
（2）類比與推理：
如果把“等腰三角形”改成“等邊三角形”，那么P的位置可以由“在底邊上任一點(diǎn)”放寬為“在三角形內(nèi)任一點(diǎn)”，即：
已知等邊△ABC內(nèi)任意一點(diǎn)P到各邊的距離分別為r₁，r₂，r₃，等邊△ABC的高為h，試證明r₁+r₂+r₃=h（定值）．
（3）拓展與延伸：
若正n邊形A₁A₂…A_n，內(nèi)部任意一點(diǎn)P到各邊的距離為r₁r₂…r_n，請(qǐng)問(wèn)r₁+r₂+…+r_n是否為定值？如果是，請(qǐng)合理猜測(cè)出這個(gè)定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知BE=BC，采用面積分割法，S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC得出三角形高的數(shù)量關(guān)系．
（2）連接PA，PB，PC，仿照面積的割補(bǔ)法，得出S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，而這幾個(gè)三角形的底相等，故可得出高的關(guān)系．
（3）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為正n邊形時(shí)，根據(jù)正n邊形計(jì)算面積的方法，從中心向各頂點(diǎn)連線，可得出n個(gè)全等的等腰三角形，用邊長(zhǎng)為底，邊心距為高，可求正n邊形的面積，然后由P點(diǎn)向正n多邊形，又可把正n邊形分割成n過(guò)三角形，以邊長(zhǎng)為底，以r₁r₂…r_n為高表示面積，列出面積的等式，可求證r₁+r₂+…+r_n為定值．
解答：解：（1）過(guò)E點(diǎn)作EH⊥BC，垂足為H，連接BF，
∵BE=BC=3，∠EBH=45°，
∴EH=，
∵S_△BFE+S_△BCF=S_△BEC，
∴BE×FN+BC×FM=BC×EH，
∵BE=BC，
∴FN+FM=EH=．

（2）連接PA，PB，PC，
∵S_△PBC+S_△PAC+S_△PAB=S_△ABC，
∴BC•r₁+AC•r₂+AB•r₃=BC•h，
∵BC=AC=AB，
∴r₁+r₂+r₃=h．

（3）設(shè)n邊形的邊心距為r，則：r₁+r₂+…+r_n=nr（定值）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要利用面積分割法，求線段之間的關(guān)系，充分體現(xiàn)了面積法解題的作用．