Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O．M為AD中點，連接CM交BD于點N，且ON=1．
（1）求BD的長；
（2）若△DCN的面積為2，求四邊形ABNM的面積．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質,平行四邊形的性質

專題：幾何綜合題

分析：（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，得到對邊平行且相等，且對角線互相平分，根據兩直線平行內錯角相等得到兩對角相等，進而確定出三角形MND與三角形CNB相似，由相似得比例，得到DN：BN=1：2，設OB=OD=x，表示出BN與DN，求出x的值，即可確定出BD的長；
（2）由相似三角形相似比為1：2，得到CN=2MN，BN=2DN．已知△DCN的面積，則由線段之比，得到△MND與△CNB的面積，從而得到S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND，最后由S_{四邊形ABNM}=S_△ABD-S_△MND求解．

解答：解：（1）∵平行四邊形ABCD，
∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，
∴∠DMN=∠BCN，∠MDN=∠NBC，
∴△MND∽△CNB，
∴

MD

CB

=

DN

BN

，
∵M為AD中點，
∴MD=

1

2

AD=

1

2

BC，即

MD

CB

=

1

2

，
∴

DN

BN

=

1

2

，即BN=2DN，
設OB=OD=x，則有BD=2x，BN=OB+ON=x+1，DN=x-1，
∴x+1=2（x-1），
解得：x=3，
∴BD=2x=6；

（2）∵△MND∽△CNB，且相似比為1：2，
∴MN：CN=DN：BN=1：2，
∴S_△MND=

1

2

S_△CND=1，S_△BNC=2S_△CND=4．
∴S_△ABD=S_△BCD=S_△BCN+S_△CND=4+2=6
∴S_{四邊形ABNM}=S_△ABD-S_△MND=6-1=5．

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解本題的關鍵．