Question

25、已知：△ABC和△ADE均為等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，按圖1放置，使點E在BC上，取CE的中點F，連接DF、BF．
（1）探索DF、BF的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明；
（2）將圖1中△ADE繞A點順時針旋轉(zhuǎn)45°，再連接CE，取CE的中點F（如圖2），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論；
（3）將圖1中△ADE繞A點轉(zhuǎn)動任意角度（旋轉(zhuǎn)角在0°到90°之間），再連接CE，取CE的中點F（如圖3），問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可知DF=BF，根據(jù)∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF．
（2）延長DF交BC于點G，先證明△DEF≌△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根據(jù)AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因為∠ABC=90°，所以DF=BF且DF⊥BF．
（3）延長BF至點G，使FG=BF，連接DB，DG，GE，可證明△EFG≌△CFB，得到EG=CB，∠EGF=∠CBF，繼而求得△DAB≌△DEG，得到DG=DB，∠ADB=∠EDG，所以∠BDG=∠ADE=90°，可得DF=BF且DF⊥BF．

解答：解：（1）DF=BF且DF⊥BF．（1分）
證明：如圖1：
∵∠ABC=∠ADE=90°，AB=BC，AD=DE，
∴∠CDE=90°，∠AED=∠ACB=45°，
∵F為CE的中點，
∴DF=EF=CF=BF，
∴DF=BF；（2分）
∴∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，
∴∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，
即：∠DFB=90°，
∴DF⊥BF．（3分）

（2）仍然成立．
證明：如圖2，延長DF交BC于點G，
∵∠ABC=∠ADE=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEF=∠GCF，
又∵EF=CF，∠DFE=∠GFC，
∴△DEF≌△GCF，
∴DE=CG，DF=FG，（4分）
∵AD=DE，AB=BC，
∴AD=CG，
∴BD=BG，（5分）
又∵∠ABC=90°，
∴DF=BF且DF⊥BF．（6分）

（3）仍然成立．證明：如圖3，延長BF至點G，使FG=BF，連接DB、DG、GE，
∵EF=CF，∠EFG=∠CFB，
∴△EFG≌△CFB，
∴EG=CB，∠EGF=∠CBF，
∴EG∥CB，
∵AB=BC，AB⊥CB，
∴EG=AB，EG⊥AB，
在△ADM和△EMN中，
∵∠ADE=90°，EG⊥AB，
又∵∠AMD=∠EMN，
∴∠DAB=∠DGE，
∴△DAB≌△DEG，
∴DG=DB，∠ADB=∠EDG，（7分）
∴∠BDG=∠ADE=90°，
∴△BGD為等腰直角三角形，
∴DF=BF且DF⊥BF．（8分）

點評：主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形和全等三角形的判定．要掌握等腰三角形和全等三角形的性質(zhì)及其判定定理并會靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．