Question

11．已知一次函數(shù)y=-$\frac{1}{2}$x+2和y=2x-3的圖象分別交y軸與A、B兩點(diǎn)，兩個(gè)一次函數(shù)的圖象相交于點(diǎn)P．
（1）求△PAB的面積；
（2）求證：∠APB=90°；
（3）若在一次函數(shù)y=2x-3的圖象上有一點(diǎn)N，且橫坐標(biāo)為x，連結(jié)NA，請(qǐng)直接寫(xiě)出△NAP的面積關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出相應(yīng)x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）首先解兩個(gè)一次函數(shù)的解析式組成的方程組求得P的坐標(biāo)，然后求得A和B的坐標(biāo)，則AB的長(zhǎng)即可求得，根據(jù)三角形的面積即可求得；
（2）利用勾股定理的逆定理求解；
（3）表示出PN的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式即可求解．

解答 解：（1）根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{2}x+2}\\{y=2x-3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=1}\end{array}\right.$，
則P的坐標(biāo)是（2，1）．
在y=-$\frac{1}{2}$x+2中令x=0，解得y=2，則A的坐標(biāo)是（0，2），
在y=2x-3中令x=0，解得y=-3，則B的坐標(biāo)是（0，-3），
則AB=5，
則S_△PAB=$\frac{1}{2}$×5×2=5；
（2）∵PA²=2²+（2-1）²=5，
BP²=2²+（1+3）²=20，
AB²=25，
∴PA²+BP²=AB²，
∴△PAB是直角三角形，∠APB=90°；
（3）N的橫坐標(biāo)是x，則縱坐標(biāo)是（x，2x-3）．
則PN=$\sqrt{（x-2）^{2}+（2x-3-1）^{2}}$=$\sqrt{5}$|x-2|，
當(dāng)x＞2時(shí)，PN=$\sqrt{5}$（x-2），
則△NAP的面積S=$\frac{1}{2}$PA•PN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$（x-2）=$\frac{5}{2}$（x-2）；
當(dāng)x＜2時(shí)，PN=$\sqrt{5}$（2-x），
則△NAP的面積S=$\frac{1}{2}$PA•PN=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$（2-x）=$\frac{5}{2}$（2-x）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)的求法以及勾股定理的逆定理，求函數(shù)交點(diǎn)的坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)函數(shù)的解析式組成的方程組．