Question

12．在平面直角坐標系xOy中，已知二次函數y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+mx+n$的圖象經過點A（2，0）和點B（1，$\frac{3}{4}$），直線l經過拋物線的頂點且與y軸垂直，垂足為Q．
（1）求該二次函數的表達式；
（2）設拋物線上有一動點P從點B處出發(fā)沿拋物線向下運動，其縱坐標y₁隨時間t（t≤0）的變化規(guī)律為y₁=$\frac{3}{4}$-2t．設點C是線段OP的中點，作DC⊥l于點D．
①點P運動的過程中，$\frac{CD}{OP}$是否為定值，請說明理由；
②若在點P開始運動的同時，直線l也向下平行移動，且垂足Q的縱坐標y₂隨時間t的變化規(guī)律為y₂=1-3t，以OP為直徑作⊙C，l與⊙C的交點為E、F，若EF=$\sqrt{3}$，求t的值．

Answer 1

分析 （1）把A、B代入解析式求出m、n即可解決問題．
（2）用t的代數式表示線段CD、OP，然后求出比值即可．
（3）根據弦心距、半徑、弦長的一半之間的關系列出方程即可解決．

解答 解：（1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{-1+2m+n=0}\\{-\frac{1}{4}+m+n=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=0}\\{n=1}\end{array}\right.$．
故二次函數解析式為y=-$\frac{1}{4}$x²+1．
（2）①$\frac{CD}{OP}$=$\frac{1}{2}$，理由如下，
將P點縱坐標代入（1）的解析式，得：$\frac{3}{4}$-2t═-$\frac{1}{4}$x²+1，x=$\sqrt{8t+1}$，
∴點P坐標（$\sqrt{8t+1}$，$\frac{3}{4}-2t$），
∴OP中點C的坐標（$\frac{\sqrt{8t+1}}{2}$，$\frac{3}{8}-t$），
∴CD=1-（$\frac{3}{8}-t$）=$\frac{5}{8}+t$，OP=$\sqrt{8t+1+（\frac{3}{4}-2t）^{2}}$=2t+$\frac{5}{4}$，
∴OP=2CD
∴$\frac{CD}{OP}$=$\frac{1}{2}$．
②∵圓心到直線l的距離d=|$\frac{3}{8}-t$-（1-3t）|=|2t-$\frac{5}{8}$|，半徑r=$\frac{1}{2}$OP=t+$\frac{5}{8}$，EF=$\sqrt{3}$，
又∵（$\frac{EF}{2}$）²+d²=r²，
∴$\frac{3}{4}$+（2t-$\frac{5}{8}$）²=（t+$\frac{5}{8}$）²，
解得t=1或$\frac{1}{4}$，
∴t=1或$\frac{1}{4}$時，以OP為直徑作⊙C，l與⊙C的交點為E、F，EF=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查待定系數法求二次函數的解析式、圓的有關知識，解題的關鍵是用t的代數式表示相應的線段，學會利用方程的思想去思考問題，屬于中考壓軸題．