Question

13．我們已經(jīng)知道（a+b）²=a²+2ab+b²，（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）的計算結(jié)果有什么規(guī)律呢？實際上我國宋代就有數(shù)學(xué)家進(jìn)行了研究：
如果將（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）的每一項按字母a的次數(shù)由大到小排列，就可以得到下面的等式：
（a+b）⁰=1，它只有一項，系數(shù)為1；
（a+b）¹=a+b，它有兩項，系數(shù)分別為1，1；
（a+b）²=a²+2ab+b²，它有三項，系數(shù)分別為1，2，1；
（a+b）³=a³+3a²b+3ab²+b³，它有四項，系數(shù)分別為1，3，3，1；
…
如果將上述每個式子的各項系數(shù)排成如圖的表格，我們可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，聰明的你一定也發(fā)現(xiàn)了，請你根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下面的問題：
（1）嘗試寫出（a+b）⁴的結(jié)果，并用整式乘法的相關(guān)知識進(jìn)行驗證；
（2）請直接寫出（a+b）⁵共有6項，各項系數(shù)的和等于32；
（3）（a+b）ⁿ（n為非負(fù)整數(shù)）共有n+1項，各項系數(shù)的和等于2ⁿ．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)規(guī)律寫出（a+b）⁴的結(jié)果，并用整式乘法的法則進(jìn)行計算即可；
（2）根據(jù)各項系數(shù)以及字母指數(shù)的變化規(guī)律寫出各項，得出項數(shù)以及各項系數(shù)的和即可；
（3）根據(jù)項數(shù)以及各項系數(shù)的和的變化規(guī)律，得出（a+b）ⁿ的項數(shù)以及各項系數(shù)的和即可．

解答 解：（1）（a+b）⁴=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴
驗證：（a+b）⁴
=（a+b）²（a+b）²
=（a²+2ab+b²）（a²+2ab+b²）
=a⁴+4a³b+6a²b²+4ab³+b⁴

（2）根據(jù)規(guī)律可得，（a+b）⁵共有6項，
各項系數(shù)分別為：1，5，10，10，5，1，
它們的和等于32；
故答案為：6，32；

（3）根據(jù)規(guī)律可得，（a+b）ⁿ共有（n+1）項，
∵1=2⁰
1+1=2¹
1+2+1=2²
1+3+3+1=2³
∴（a+b）ⁿ各項系數(shù)的和等于2ⁿ
故答案為：n+1，2ⁿ

點評 本題主要考查了完全平方式的應(yīng)用，能根據(jù)楊輝三角得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．在應(yīng)用完全平方公式時，要注意：①公式中的a，b可是單項式，也可以是多項式；②對形如兩數(shù)和（或差）的平方的計算，都可以用這個公式．