Question

【題目】（1）思考探究：如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于P點(diǎn)，已知∠ABC＝70°，∠ACD＝100°．求∠A和∠P的度數(shù)．

（2）類比探究：如圖，△ABC的內(nèi)角∠ABC的平分線與外角∠ACD的平分線相交于P點(diǎn)，已知∠P＝n°．求∠A的度數(shù)（用含n的式子表示）．

（3）拓展遷移：已知，在四邊形ABCD中，四邊形ABCD的內(nèi)角∠ABC與外角∠DCE的平分線所在直線相交于點(diǎn)P，∠P=n°，請(qǐng)畫出圖形；并探究出∠A+∠D的度數(shù)（用含n的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）∠A＝30°，∠P=15°；（2）∠A＝2n°；（3）畫圖見(jiàn)解析；∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n°．

【解析】

(1) 根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可以算出∠A的大小，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得∠PCD=∠P+∠PBC，即可得解；

(2)和（1）證明方法類似，先證明∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC），再證明∠A＝2∠P即可得到答案；
(3) 延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于F根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，即可得到第一種情況；延長(zhǎng)AB交DC的延長(zhǎng)線于F，同理即可得到答案．

解：（1）∠A＝30°，∠P＝15°

∵∠ACD+∠ACB＝180°，∠ACD＝100°

∴∠ACB＝80°，

∵∠ABC+∠ACB+∠A＝180°（三角形內(nèi)角和定理），

又∵∠ABC＝70°，

∴∠A＝30°，

∵P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點(diǎn)，

∴∠PCD＝∠ACD＝50°，∠PBC＝∠ABC＝35°

∵∠PBC+∠PCB+∠P＝180°，∠PCB+∠PCD＝180°

∴∠PCD＝∠PBC+∠P

∴∠P＝50°－35°＝15°

（2）結(jié)論：∠A＝2n°，理由如下：

∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∠ACD＝∠A+∠ABC（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和），

又∵P點(diǎn)是∠ABC和外角∠ACD的角平分線的交點(diǎn)，

∴∠ACD＝2∠PCD，∠ABC＝2∠PBC，

∴∠A+∠ABC＝2（∠P+∠PBC）（等量替換），

∴∠A+∠ABC＝2∠P+2∠PBC，

∴∠A+∠ABC＝2∠P+∠ABC（等量替換），

∴∠A＝2∠P；

∴∠A＝2n°

（3）（Ⅰ）如圖②延長(zhǎng)BA交CD的延長(zhǎng)線于F．

∵∠F＝180°﹣∠FAD﹣∠FDA

＝180°﹣（180°﹣∠A）﹣（180°﹣∠D）

＝∠A+∠D﹣180°，

由（2）可知：∠F＝2∠P＝2n°，

∴∠A+∠D＝180°+2n°。

（Ⅱ）如圖③，延長(zhǎng)AB交DC的延長(zhǎng)線于F．

∵∠F＝180°﹣∠A﹣∠D，∠P＝∠F，

∴∠P＝（180°﹣∠A﹣∠D）＝90°﹣（∠A+∠D）．

∴∠A+∠D＝180°﹣2n°

綜上所述：∠A+∠D＝180°+2n°或180°﹣2n° ；