Question

如圖（1）～（3），已知∠AOB的平分線OM上有一點(diǎn)P，∠CPD的兩邊與射線OA、OB交于點(diǎn)C、D，連接CD交OP于點(diǎn)G，設(shè)∠AOB=α（0°＜α＜180°），∠CPD=β．
（1）如圖（1），當(dāng)α=β=90°時(shí)，試猜想PC與PD，∠PDC與∠AOB的數(shù)量關(guān)系（不用說明理由）；
（2）如圖（2），當(dāng)α=60°，β=120°時(shí)，（1）中的兩個(gè)猜想還成立嗎？請(qǐng)說明理由．
（3）如圖（3），當(dāng)α+β=180°時(shí)，
①你認(rèn)為（1）中的兩個(gè)猜想是否仍然成立，若成立請(qǐng)直接寫出結(jié)論；若不成立，請(qǐng)說明理由．
②若=2，求的值．

Answer 1

解：（1）PC=PD，∠PDC=∠AOB．

（2）成立．理由如下：
作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，如圖．
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF．
在四邊形EOFP中，
∵∠AOB=60°，∠PEO=∠PFO=90°，
∴∠EPF=120°，即∠EPC+∠CPF=120°．
又∠CPD=120°，即∠DPF+∠CPF=120°．
∴∠EPC=∠DPF．
∴△EPC≌△FPD．
∴PC=PD，
∴∠PDC==30°．
∵∠AOB=60°，
∴∠PDC=∠AOB，

（3）①成立，
②∵∠PDC=∠AOB，
∠POD=∠AOB，
∴∠PDC=∠POD．
又∠DPG=∠DPO，
∴△PGD∽△PDO．
∴=．
又　=2，
∴=．
分析：（1）作PE⊥AO于E，PF⊥OB于F，證明△PDF≌△PCE可得PC=PD；根據(jù)四邊形內(nèi)角和及等腰三角形性質(zhì)可得∠PDC=∠AOB；
（2）根據(jù)（1）的思路可證結(jié)論成立；
（3）根據(jù)上面思路猜想，成立；根據(jù)上面結(jié)論可證△PDG∽△POD，從而求解．
點(diǎn)評(píng)：此題考查三角形相似（包括全等）的判定和性質(zhì)，綜合性強(qiáng)，難度較大．