Question

3．如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，點O是正方形ABCD的中心，把正方形ABCD繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形A′B′C′D′，則正方形ABCD與正方形A′B′C′D′重疊部分形成的正八邊形的邊長為2$\sqrt{2}$-2．

Answer 1

分析 首先求出正方形的對角線長；進而求出OA′的長；證明△A′MN為等腰直角三角形，求出A′N的長度；同理求出D′M′的長度，即可解決問題．

解答 解：連接OA′，交AB于M，如圖所示：
∵正方形ABCD的邊長為2，
∴該正方形的對角線長=2$\sqrt{2}$，
∴OA′=$\sqrt{2}$；而OM=1，
∴A′M=$\sqrt{2}$-1；
由題意得：∠MA′N=45°，∠A′MN=90°，
∴∠MNA′=45°，
∴MN=A′M=$\sqrt{2}$-1；
由勾股定理得：A′N=2-$\sqrt{2}$；
同理可求D′M′=2-$\sqrt{2}$，
∴NM'=2-（4-2$\sqrt{2}$）=2$\sqrt{2}$-2，
∴正八邊形的邊長為2$\sqrt{2}$-2，
故答案為2$\sqrt{2}$-2．

點評 該題主要考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、勾股定理等幾何知識點及其應(yīng)用；應(yīng)牢固掌握旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等幾何知識點，這是靈活運用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵．