Question

【題目】如圖所示，在△ABD中，BC為AD邊上的高線，tan∠BAD＝1，在BC上截取CG＝CD，連結AG，將△ACG繞點C旋轉，使點G落在BD邊上的F處，A落在E處，連結BE，若AD＝4，tanD＝3，則△CFD和△ECF的面積比為___；BE長為____．

Answer 1

【答案】1：5， ．

【解析】

作CM⊥DF于M，則∠CMD＝90°，由已知得出∠BCD＝∠ACB＝90°，AC＝BC，BC＝3CD，求出CD＝1，AC＝BC＝3，證明△CDM∽△BDC，，得出，證明△AGC≌△BDC，得出∠CAG＝∠CBD，△AGC的面積＝△BDC的面積，∠CAG＝∠CBD，由旋轉的性質得：CF＝CD，EC＝AC＝BC，∠CEF＝∠CAG，∠BCF＝∠ACN，得出△CDF的面積＝2△CDM的面積，求出△CFD的面積：△ECF的面積＝1：5；證明△ACN≌△BCF，得出AN＝BF，CN＝CF＝CD＝CG＝1，GN＝DF，證明△CGN∽△CBE，得出，在Rt△DCM中，求出DM＝，得出DF＝2DM＝，代入計算即可．

作CM⊥DF于M，如圖所示：

則∠CMD＝90°，

∵在△ABD中，BC為AD邊上的高線，tan∠BAD＝1，

∴∠BCD＝∠ACB＝90°，AC＝BC，

在Rt△BCD中，∵tanD＝3＝，

∴BC＝3CD，

∵AD＝AC+CD＝BC+CD＝4，

∴CD＝1，AC＝BC＝3，

∵∠CMD＝∠BCD，∠D＝∠D，

∴△CDM∽△BDC， ，

∴，

在△AGC和△BDC中，，

∴△AGC≌△BDC（SAS），

∴∠CAG＝∠CBD，△AGC的面積＝△BDC的面積，∠CAG＝∠CBD，

由旋轉的性質得：CF＝CD，EC＝AC＝BC，∠CEF＝∠CAG，∠BCF＝∠ACN，

∴△CDF的面積＝2△CDM的面積，

∴△CFD的面積：△ECF的面積＝1：5；

∵CG＝CD，

∴CG＝CF，

在△ACN和△BCF中，，

∴△ACN≌△BCF（ASA），

∴AN＝BF，CN＝CF＝CD＝CG＝1，

∴GN＝DF，BC：CG＝CE：CN，

∵∠GCN＝∠BCE，

∴△CGN∽△CBE，

∴，

在Rt△DCM中，tanD＝3，CD＝1，

∴DM＝，

∵CD＝CF，CM⊥DF，

∴DF＝2DM＝，

∴GN＝，

∴＝，

解得：BE＝；

故答案為：1：5，．