Question

13．設(shè)ABCD為圓內(nèi)接四邊形，對角線AC平分BD于E．
求證：AB²+BC²+CD²+DA²=2AC²．

Answer 1

分析 由結(jié)論聯(lián)想到運用余弦定理，則有AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos∠ADC，AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC，只需證到AD•DC•cos∠ADC=-AB•BC•cos∠ABC．根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對角互補可得∠ADC+∠ABC=180°，從而可得cos∠ADC=-cos∠ABC，sin∠ADC=sin∠ABC，只需證到AD•DC=AB•BC，只需證到S_△ADC=S_△BAC，過點D作DG⊥AC于G，過點B作BH⊥AC于H，只需證到DG=BH，只需證到△DGE≌△BHE即可．

解答 證明：過點D作DG⊥AC于G，過點B作BH⊥AC于H，如圖，
則有∠DGE=∠BHE=90°．
在△DGE和△BHE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DGE=∠BHE}\\{∠DEG=∠BEH}\\{DE=BE}\end{array}\right.$，
∴△DGE≌△BHE，
∴DG=BH，
∴S_△ADC=S_△BAC，
∴$\frac{1}{2}$AD•DC•sin∠ADC=$\frac{1}{2}$AB•BC•sin∠ABC，
∵∠ADC+∠ABC=180°，
∴cos∠ADC=-cos∠ABC，sin∠ADC=sin∠ABC，
∴AD•DC=AB•BC．
在△ADC中，根據(jù)余弦定理可得，
AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos∠ADC．
在△ABC中，根據(jù)余弦定理可得，
AC²=AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC．
∴2AC²=AD²+DC²-2AD•DC•cos∠ADC+AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=AD²+DC²+2AB•BC•cos∠ABC+AB²+BC²-2AB•BC•cos∠ABC
=AD²+DC²+AB²+BC²．

點評 本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的面積公式、互補兩角的同名三角函數(shù)的關(guān)系、余弦定理等知識，由結(jié)論的特點聯(lián)想到余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．