解:(1)由觀察可知:所得距離與這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值相等;
(2)結(jié)合數(shù)軸,我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論.
當(dāng)x<-1時(shí),距離為-x-1,
當(dāng)-1<x<0時(shí),距離為x+1,
當(dāng)x>0,距離為x+1.綜上,我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+1|;
(3)當(dāng)x<-3時(shí),|x-2|+|x+3|=2-x-(3+x)=-2x-1,此時(shí)最小值大于5;
當(dāng)-3≤x≤2時(shí),|x-2|+|x+3|=2-x+x+3=5;
當(dāng)x>2時(shí),|x-2|+|x+3|=x-2+x+3=2x+1,此時(shí)最小值大于5;
所以|x-2|+|x+3|的最小值為5,取得最小值時(shí)x的取值范圍為-3≤x≤2;
(4)由分析借助數(shù)軸,我們可以得到正確答案:x<-4或x>-1.
分析:(1)直接借助數(shù)軸可以得出;
(2)點(diǎn)B表示的數(shù)為-1,所以我們可以在數(shù)軸上找到點(diǎn)B所在的位置.那么點(diǎn)A呢?因?yàn)閤可以表示任意有理數(shù),所以點(diǎn)A可以位于數(shù)軸上的任意位置.那么,如何求出A與B兩點(diǎn)間的距離呢?
結(jié)合數(shù)軸,我們發(fā)現(xiàn)應(yīng)分以下三種情況進(jìn)行討論.
當(dāng)x<-1時(shí),距離為-x-1,
當(dāng)-1<x<0時(shí),距離為x+1,
當(dāng)x>0,距離為x+1.綜上,我們得到A與B兩點(diǎn)間的距離可以表示為|x+1|;
(3)|x-2|即x與2的差的絕對(duì)值,它可以表示數(shù)軸上x與2之間的距離.|x+3|=|x-(-3)|即x與-3的差的絕對(duì)值,它也可以表示數(shù)軸上x與-3之間的距離. 借助數(shù)軸,我們可以得到正確答案;
(4)同理|x+1|表示數(shù)軸上x與-1之間的距離,|x+4|表示數(shù)軸上x與-4之間的距離.本題即求,當(dāng)x是什么數(shù)時(shí)x與-1之間的距離加上x與-4之間的距離會(huì)大于3.借助數(shù)軸,我們可以得到正確答案:x<-4或x>-1.
點(diǎn)評(píng):借助數(shù)軸可以使有關(guān)絕對(duì)值的問題轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上有關(guān)距離的問題,反之,有關(guān)數(shù)軸上的距離問題也可以轉(zhuǎn)化為絕對(duì)值問題.這種相互轉(zhuǎn)化在解決某些問題時(shí)可以帶來方便.事實(shí)上,|A-B|表示的幾何意義就是在數(shù)軸上表示數(shù)A與數(shù)B的點(diǎn)之間的距離.這是一個(gè)很有用的結(jié)論,我們正是利用這一結(jié)論并結(jié)合數(shù)軸的知識(shí)解決了(3)、(4)這兩道難題.