Question

14．如圖所示，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AB，垂足為點(diǎn)E，過點(diǎn)B作BF∥AC交DE的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)CF、AD．
（1）求證：△ACD≌△CBF；
（2）求證：AD⊥CF；
（3）連結(jié)AF，試判斷△ACF的形狀，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）先證出CD=DB，BF=DB，得出BF=CD，再證出∠CBF=∠ACD，由BC=AC，即可證出Rt△CBF≌Rt△ACD（SAS）；
（2）由Rt△CBF≌Rt△ACD得出∠BCF=∠CAD，從而證出∠AGC=90°，得出AD⊥CF；
（3）由（2）可得CF=AD，又AB垂直平分DF，可得AD=AF，可證明CF=AF，可知△ACF為等腰三角形．

解答 證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AC=CB，∠CBA=∠CAB=45°，
∵DE⊥AB，
∴∠DEB=90°，∠BDE=45°，
又∵BF∥AC，
∴∠CBF=90°，
∴∠BFD=∠BDE=45°，∠BFD=∠ACD=90°，
∴BF=DB，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴CD=DB，
∴BF=CD，
在△CBF和△ACD中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBF=∠ACD}\\{BF=CD}\end{array}\right.$
∴△CBF≌△ACD（SAS）；

（2）由（1）得△CBF≌△ACD，
∴∠BCF=∠CAD，
∵∠BCF+∠GCA=90°，
∴∠CAD+∠GCA=90°，即∠AGC=90°，
∴AD⊥CF；

（3）由（2）可知△ACD≌△CBF，
∴AD=CF，
由（1）可知AB垂直平分DF，
∴AD=AF，
∴AF=CF，
∴△ACF為等腰三角形．

點(diǎn)評 本題主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS和HL）和性質(zhì)（全等三角形的對應(yīng)邊、對應(yīng)角相等）是解題的關(guān)鍵．