Question

如圖，等腰直角△ABC和等邊△AEF都是半徑為R的圓的內(nèi)接三角形．
（1）求AF的長(zhǎng)；
（2）通過對(duì)△ABC和△AEF的觀察，請(qǐng)你先猜想誰(shuí)的面積大，再證明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）連接OF，過O作OG⊥AF于G，在直角△OGF中，利用三角函數(shù)即可求解；
（2）根據(jù)外接圓的半徑是R，即可求得等腰直角△ABC和等邊△AEF的面積，即可作出比較．

解答：解：（1）連接OF，過O作OG⊥AF于G，OF=R，
又∵△AEF為等邊三角形，
∴∠AOF=120°，
∴∠GOF=60°，
∴GF=

3

2

R，則AF=

3

R

（2）S_△ABC＜S_△AEF，
∵直角△ABC是等腰直角三角形．
∴AB=2R，
∴AC=

2

R，
∴S_△ABC=R²
S△AEF=3×

1

2

OG•AF，OG=

1

2

R，S△AEF=

3

4

R•

3

R=

3 3

4

R2＞R2
∴S_△ABC＜S_△AEF

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正多邊形與圓的計(jì)算，正確理解等腰直角三角形的斜邊就是外接圓的直徑，正多邊形的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的計(jì)算．