Question

如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，PD切⊙O于點(diǎn)C，BD⊥PD，垂足為D，連接BC、AC．
（1）求證：△BCD∽△BAC；
（2）若⊙O的半徑為3，CD=2

2

，求BD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）連接OC，根據(jù)切線性質(zhì)求出∠OCP=90°，推出OC∥BD，求出∠DBC=∠ABC，∠BDC=∠BCA，根據(jù)相似三角形的判定推出即可；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出BC²=6BD，根據(jù)勾股定理得出BC²=BD²+CD²，推出6BD=8+BD²，求出即可．

解答：（1）證明：連結(jié)OC，
∵PD切⊙O于點(diǎn)C，
∴OC⊥PD，
∵BD⊥PD，
∴OC∥BD，
∴∠BCO=∠DBC，
∵OC=OB，
∴∠BCO=∠OBC，
∵AB是半圓O的直徑，
∴∠ACB=∠CDB=90°，
∴△BCD∽△BAC；

（2）解：∵△BCD∽△BAC，
∴

BD

BC

=

BC

AB

，
∴BC²=6BD，
∵BC²=BD²+CD²，
∴6BD=8+BD²，
解得：BD=4或2（不合題意，舍去），
∴BD=4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理的能力，題目綜合比較強(qiáng)，難度適中．