Question

19．如圖，在△ABC中，以A為頂點，以AB、AC為直角三角形的直角邊向外側(cè)作等腰直角三角形，連接DE，過A點向BC作垂線AG．反向延長AG交DE于H．
（1）求證：S_△ADE=S_△ABC；
（2）求證：AG平分DE．

Answer 1

分析 （1）作DP⊥GA，EQ⊥GA，垂足分別為P、Q，根據(jù)△DAP≌△ABG，△AGC≌△EQA，△DPH≌△EQH，得到：S_△ABG=S_△DAP，S_△EQA=S_△AGC，S_△DPH=S_△EQH，由此即可證明結(jié)論．
（2）根據(jù)△DPH≌△EQH即可證明．

解答 （1）證明：作DP⊥GA，EQ⊥GA，垂足分別為P、Q．
∵Rt△ABD是等腰三角形，
∴DA=BA，
∵∠PDA+∠PAD=90°，
∠PAD+∠BAG=90°，
∴∠PDA=∠BAG，
在△DAP與△ABG中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPA=∠AGB=90°}\\{∠PDA=∠GAP}\\{DA=AB}\end{array}\right.$，
∴△DAP≌△ABG（AAS），
∴DP=AG，
同理△AGC≌△EQA，AG=FQ．，
∴DP=EQ，
∴S_△ABG=S_△DAP，S_△EQA=S_△AGC，
在△DPH與△EQH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DPH=∠EQH}\\{∠DHP=∠EHQ}\\{HD=QE}\end{array}\right.$，
∴△DPH≌△EQH（AAS），
∴S_△DPH=S_△EQH，
∴S_△ABC=S_△ABG+S_△AGC=S_△DAP-S_△DPH+S_△EQA-S_△EQH=S_△DAP+S_△EQA=S_△ADE，
即S_△ABC=S_△ADE．
（2）證明：∵△DPH≌△EQH（已證），
∴DH=HE，
∴AG平分DE．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形內(nèi)角和為180°的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)等知識，本題中添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．