Question

在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，∠ABC=30°．D是CB上一點(diǎn)，DC=1cm．P、Q是直線CB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿直線CB向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從D點(diǎn)出發(fā)，以2cm/s的速度沿直線CB向右運(yùn)動(dòng)，以PQ為一邊在CB的上方作等邊三角形PQR，下圖是其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的某一位置．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t（s）．
（1）△PQR的邊長(zhǎng)是

 

cm（用含有t的代數(shù)式表示）；
（2）若等邊△PQR與△ABC重疊部分的面積為y（cm²），求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意，直接將△PQR的三邊相加即可得出含t的表達(dá)式；易得△QRB為等腰三角形，可得到QB=QR=QP=t+1；
（2）易得重疊部分為一個(gè)小等邊三角形，依題意根據(jù)重疊部分圖形的形狀分四種情況考慮：如圖分別畫(huà)出圖形，圖形1根據(jù)等邊三角形的邊長(zhǎng)為t+1，表示出重疊部分的面積y；圖形2，用等邊三角形RPQ的面積減去三角形RMN的面積，首先由等邊三角形的性質(zhì)得到內(nèi)角為60°，再由∠B=30°可得MN與RP垂直，可得三角形RMN為直角三角形，由30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，先表示出PB的長(zhǎng)，進(jìn)而表示出MP的長(zhǎng)，用RP-MP可得PM的長(zhǎng)，再利用銳角三角函數(shù)表示出MN的長(zhǎng)，即可表示出三角形RMN的面積，可表示出重疊部分的面積；圖形3，同理可得重疊部分的面積；圖形4，根據(jù)圖形可得重疊部分的面積為0．

解答：解：（1）△PQR的邊長(zhǎng)PQ=CQ-CP=（CD+DP）-CP=（1+2t）-t=（t+1）cm；
故答案為：（t+1）；


（2）當(dāng)0≤t＜

4

3

時(shí)，如圖1：易得重疊部分為一個(gè)小等邊三角形其邊長(zhǎng)為t+1，
則重疊部分的面積y=

3

4

（t+1）²；（5分）
當(dāng)

4

3

≤t＜

5

2

時(shí)，如圖2：易得重疊部分為四邊形MNQP，
∵∠B=30°，且△RPQ為等邊三角形，得到∠RPQ=∠R=60°，
∴∠PMN=90°，且PB=BC-CP=6-t，∠RNM=30°，
∴PM=

1

2

（6-t），故MR=PR-PM=（t+1）-

1

2

（6-t）=

1

2

（3t-4），
∴MN=MR•tan60°=

3

2

（3t-4），
則重疊部分的面積y=

3

4

（t+1）²-

3

8

（3t-4）²
=-

7 3

8

t²+

7 3

2

t-

7 3

4

=-

7 3

8

（t-2）²+

7 3

4

；（8分）
當(dāng)

5

2

≤t＜6時(shí)，如圖3：同理可得y=

3

8

（6-t）²；（11分）
當(dāng)t≥6時(shí)，如圖4：可得y=0．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，是一道動(dòng)態(tài)幾何題，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．特別是第二問(wèn)動(dòng)點(diǎn)P和Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與三角形ABC重疊部分存在四種情況，學(xué)生應(yīng)借助圖形，利用分類討論的思想來(lái)解決問(wèn)題．