Question

如圖，拋物線F：y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)為P，拋物線F與y軸交于點(diǎn)A，與直線OP交于點(diǎn)B．過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，平移拋物線F使其經(jīng)過點(diǎn)A、D得到拋物線F′：y=a′x²+b′x+c′，拋物線F′與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為C．
（1）當(dāng)a=2，b=-6，c=9時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)（直接寫出答案）；
（2）在（1）的條件下
①求b：b′的值；
②探究四邊形OABC的形狀，并說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）先將a=2，b=-6，c=9代入y=ax²+bx+c，得到y(tǒng)=2x²-6x+9，再利用配方法求出其頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，

9

2

），然后根據(jù)PD⊥x軸于D，即可求出點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，0）；
（2）①首先根據(jù)平移的性質(zhì)得出a=a′=2，拋物線F與拋物線F′都經(jīng)過y軸上的同一點(diǎn)A，得出c=c′=9，則拋物線F′的解析式為y=2x²+b′x+9，再將D的坐標(biāo)代入拋物線F′中，計(jì)算得出b′=-9，進(jìn)而求出b：b′的值；
②先由拋物線F′為y=2x²-9x+9，解方程2x²-9x+9=0，得出點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線OP的解析式為y=3x，由于點(diǎn)B是拋物線F與直線OP的交點(diǎn)，解方程2x²-6x+9=3x，求出x的值，得出點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，9），由B、C、A、O四點(diǎn)的坐標(biāo)可知BC∥OA，AB∥OC，則四邊形OABC是平行四邊形，又∠AOC=90°，進(jìn)而判定四邊形OABC是矩形．

解答：解：（1）∵a=2，b=-6，c=9，
∴拋物線y=ax²+bx+c即為y=2x²-6x+9，
∵2x²-6x+9=2（x²-3x）+9=2（x-

3

2

）²+

9

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，

9

2

）．
∵PD⊥x軸于D，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

3

2

，0）；

（2）①根據(jù)題意，得a=a′=2，c=c′=9，
∴拋物線F′的解析式為y=2x²+b′x+9．
又∵拋物線F′經(jīng)過點(diǎn)D（

3

2

，0），
∴0=2×

9

4

+

3

2

b′+9．
∴b′=-9．
∴b：b′=（-6）：（-9）=

2

3

；
②四邊形OABC是矩形．理由如下：
由上可得，拋物線F′為y=2x²-9x+9．
令y=0，則2x²-9x+9=0，
解得x₁=

3

2

，x₂=3．
∵點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為

3

2

，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，0）．
設(shè)直線OP的解析式為y=kx．
∵點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，

9

2

），
∴

9

2

=

3

2

k，解得k=3，
∴直線OP的解析式為y=3x．
∵點(diǎn)B是拋物線F與直線OP的交點(diǎn)，
∴2x²-6x+9=3x，
∴x₁=

3

2

，x₂=3．
∵點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為

3

2

，
∴點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為3．
把x=3代入y=3x，得y=3×3=9．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，9）．
∵B（3，9），C（3，0），A（0，9），O（0，0），
∴BC∥OA，AB∥OC，
∴四邊形OABC是平行四邊形，
又∵∠AOC=90°，
∴四邊形OABC是矩形．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到運(yùn)用待定系數(shù)法求正比例函數(shù)的解析式，拋物線頂點(diǎn)的求法，兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，平移的規(guī)律以及矩形的判定，綜合性較強(qiáng)，難度適中．