Question

（2013•老河口市模擬）如圖所示，△ABC的外接圓圓心O在AB上，點(diǎn)D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DM⊥AB于M，交AC于N，且AC=CD．CP是△CDN的邊ND上的中線．
（1）求證：AB=DN；
（2）試判斷CP與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）若PC=5，CD=8，求線段MN的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）由AB為元O的直徑，利用直徑所對(duì)的圓周角為直角，得到一對(duì)角相等，再利用等角的余角相等得到一對(duì)角相等，根據(jù)AC=CD，利用ASA得出三角形ABC與三角形DNC全等，利用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
（2）CP與圓O相切，理由為：連接OC，CP為直角三角形斜邊上的中線，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到PC=PN，都為斜邊的一半，利用等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由對(duì)頂角相等得到一對(duì)角相等，利用等邊對(duì)等角及等量代換得到OC垂直于CP，即可得證；
（3）由PC求出DN的長(zhǎng)，根據(jù)三角形ABC與三角形DCN全等，得到CN=CB，由AC=CD，AB=DN，在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，即為CN的長(zhǎng)，由AC-CN求出AN的長(zhǎng)，在直角三角形AMN與直角三角形ABC中，利用銳角三角函數(shù)定義表示出sinA，將各自的值代入即可求出MN的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°=∠NCD，
∵DM⊥AB，
∴∠AMN=90°，
∴∠ABC+∠A=∠ABC+∠D=90°，
∴∠A=∠D，
在△ABC和△DNC中，

∠A=∠D AC=CD ∠ACB=∠NCD

，
∴△ABC≌△DNC（ASA），
∴AB=DN；
（2）解：CP是⊙O的切線，理由為：
證明：連接OC，
∵CP是△CDN的邊ND上的中線，∠NCD=90°，
∴PC=PN=

1

2

DN，
∴∠PCN=∠PNC，
∵∠ANM=∠PNC，
∴∠ANM=∠PCN，
∵OA=OC，
∴∠A=∠ACO，
∵∠A+∠ANM=90°，
∴∠ACO+∠PCN=90°，
∴∠PCO=90°，
∴CP是⊙O的切線；
（3）∵PC=5，
∴DN=2PC=10，
∵△ABC≌△DNC，
∴CN=CB，AC=CD=8，AB=DN=10，
∴CN=BC=

AB2-AC2

=6，
∴AN=AC-CN=2，
∵sinA=

MN

AN

=

BC

AB

，
∴

MN

2

=

6

10

∴MN=

6

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了切線的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及銳角三角函數(shù)定義，熟練掌握切線的判定方法是解本題的關(guān)鍵．