Question

實數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1．求最大的實數(shù)k，使得不等式|a+b|≥k|c|恒成立．

Answer 1

解：不等式|a+b|≥4|c|對滿足題設條件的實數(shù)a，b，c恒成立．由已知條件知，a，b，c都不等于0，且c＞0．
因為abc=1，有ab=＞0；
又因為ab+bc+ca=0，
所以a+b=-＜0，
所以a≤b＜0．
由一元二次方程根與系數(shù)的關系知，a，b是一元二次方程x²+x+=0的兩個實數(shù)根，
于是△=-≥0，
所以c³≤．
因此|a+b|=-（a+b）=≥4c=4|c|，不等式|a+b|≥4|c|對滿足題設條件的實數(shù)a，b，c恒成立，
所以k≤4，最大的實數(shù)k為4．
分析：通過實數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，且ab+bc+ca=0，abc=1，利用c表示a+b和ab，并且確定它們的符號．然后寫出以a、b為根的一元二次方程，則有△≥0，得到c的范圍，再變形|a+b|，有|a+b|=-（a+b）=≥4c=4|c|，最后確定k的范圍，找到k的最大值．
點評：本題考查了一元二次方程根的判別式．當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當△=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根；當△＜0時，方程沒有實數(shù)根．也考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，以a，b兩數(shù)為根的方程為：x²+（a+b）x+ab=0．熟練掌握不等式的性質和絕對值的含義．