Question

如圖，在銳角△ABC中，AC是最短邊；以AC中點O為圓心，

1

2

AC長為半徑作⊙O，交BC于E，過O作OD∥BC交⊙O于D，連接AE、AD、DC．
（1）求證：D是

AE

的中點；
（2）求證：∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）若

S△CEF

S△OCD

=

1

2

，且AC=4，求CF的長．

Answer 1

分析：（1）由AC是⊙O的直徑，即可求得OD∥BC，又由AE⊥OD，即可證得D是

AE

的中點；
（2）首先延長OD交AB于G，則OG∥BC，可得OA=OD，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠DAO=∠B+∠BAD；
（3）由AO=OC，S_△OCD=

1

2

S_△ACD，即可得

S△CEF

S△ACD

=

1

4

，又由△ACD∽△FCE，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得CF的長．

解答：（1）證明：∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∴AE⊥BC，
∵OD∥BC，
∴AE⊥OD，
∴D是

AE

的中點；

（2）證明：
方法一：
如圖，延長OD交AB于G，則OG∥BC，
∴∠AGD=∠B，
∵∠ADO=∠BAD+∠AGD，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；

方法二：
如圖，延長AD交BC于H，
則∠ADO=∠AHC，
∵∠AHC=∠B+∠BAD，
∴∠ADO=∠B+∠BAD，
又∵OA=OD，
∴∠DAO=∠B+∠BAD；

（3）解：∵AO=OC，
∴S_△OCD=

1

2

S_△ACD，
∵

S△CEF

S△OCD

=

1

2

，
∴

S△CEF

S△ACD

=

1

4

，
∵∠ACD=∠FCE，∠ADC=∠FEC=90°，
∴△ACD∽△FCE，
∴

S△CEF

S△ACD

=(

CF

AC

)2，
即：

1

4

=(

CF

4

)2，
∴CF=2．

點評：此題考查了垂徑定理，平行線的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)等知識．此題綜合性較強(qiáng)，難度適中，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．