已知⊙O1與⊙O2相切于點P,它們的半徑分別為R、r.一直線繞P點旋轉(zhuǎn),與⊙O1、⊙O2分別交于點A、B(點P、B不重合),探索規(guī)律:
(1)如圖1,當⊙O1與⊙O2外切時,探求
PAPB
與半徑R、r之間的關(guān)系式,請證明你的結(jié)論;
(2)如圖2,當⊙O1與⊙O2內(nèi)切時,第(1)題探求精英家教網(wǎng)的結(jié)論是否成立?為什么?
分析:要求
PA
PB
與半徑R、r之間的關(guān)系式,證明△O1AP∽△O2BP是關(guān)鍵,注意兩圓的位置關(guān)系.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)當⊙O1與⊙O2外切時,
PA
PB
=
R
r
(3分)
證明:連接O1A,O2B
∵兩圓外切,
∴O1、P、O2三點共線
∵△O1AP和△O2BP是等腰三角形,∠O1PA=∠BPO2,
∴∠O1AP=∠O2BP
∴△O1AP∽△O2BP
PA
PB
=
R
r
;(4分)

(2)當⊙O1與⊙O2內(nèi)切時,
PA
PB
=
R
r
仍然成立(2分)精英家教網(wǎng)
證明:連接O1A,O2B,同理可證△PO1A∽△PO2B,
PA
PB
=
R
r
仍然成立.(3分)
(注:能指出當動直線AB經(jīng)過兩圓的圓心時,PA=2R,PB=2r,∴
PA
PB
=
R
r
,獎勵1分.)
點評:本題考查了兩圓的位置關(guān)系,相似三角形的判定和性質(zhì),是一個探究性的題目.
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