Question

如圖所示，某同學(xué)在探究二次函數(shù)圖象時(shí)，作直線y=m平行于x軸，交二次函數(shù)y=x²的圖象于A、B兩點(diǎn)，作AC、BD分別垂直于x軸，發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD是正方形．
（1）求m的值及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）如圖所示，將拋物線“y=x²”改為“y=x²-2x+2”，直線CD經(jīng)過(guò)拋物線的頂點(diǎn)P與x軸平行，其它關(guān)系不變，求m的值及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）如圖所示，將圖中的改為“y=ax²+bx+c（a＞0），其它關(guān)系不變，請(qǐng)直接寫出m的值及A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)（用含有a、b、c的代數(shù)式表示）
[提示：拋物線y=ax²+bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

），對(duì)稱軸為x=-

b

2a

]．

Answer 1

分析：（1）利用正方形的性質(zhì)和二次函數(shù)的對(duì)稱性解答第一問(wèn)；
（2）用配方法求出y=x²-2x+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，用m表示A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)．把其中一點(diǎn)代入函數(shù)解析式，求出m的值，問(wèn)題得解；
（3）先由拋物線y=ax²，求得m=

4

a

，A（

2

a

，

4

a

），B（-

2

a

，

4

a

），再由拋物線y=ax²+bx+c頂點(diǎn)坐標(biāo)（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）平移整理即得．

解答：解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，由拋物線y=x²的對(duì)稱性可知，OD=

1

2

AD
∴設(shè)點(diǎn)A坐標(biāo)為（

1

2

m，m），
代入y=x²，
得m=(

1

2

m)2
解得m₁=0（舍去），m₂=4，
∴m的值是4，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，4），
由拋物線的對(duì)稱性，可得B點(diǎn)坐標(biāo)為（-2，4）；

（2）如圖，
∵y=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴拋物線的頂點(diǎn)P坐標(biāo)為（1，1），
由題意，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為m，
∴AD=m-1，
設(shè)直線CD與y軸交點(diǎn)為Q，
則DQ=

m-1

2

+1=

1

2

m+

1

2

，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（

1

2

m+

1

2

，m），
代入y=x²-2x+2中，
整理得m²-6m+5=0，
解得m₁=1（舍去），m₂=5，
∴m的值為5，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，5）
∴由拋物線的對(duì)稱性，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-1，5）；

（3）m=

4ac-b2+16

4a

，
A（

-b+4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），
B（

-b-4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），
由拋物線y=ax²，求得m=

4

a

，
A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為A（

2

a

，

4

a

），B（-

2

a

，

4

a

），
把A、B兩點(diǎn)先右移（- 

b

2a

）個(gè)單位，再上移（

4ac-b2

4a

）個(gè)單位，
整理得A（

-b+4

2a

，

4ac-b2+16

4a

），B（

-b-4

2a

，

4ac-b2+16

4a

）．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識(shí)點(diǎn)有拋物線的頂點(diǎn)公式、拋物線的對(duì)稱性及圖象的平移，計(jì)算中要結(jié)合圖形及實(shí)際情況解答．