如圖,在平面直角坐標系中,點A的坐標為(1,),△AOB的面積是

(1)求點B的坐標;

(2)求過點A、O、B的拋物線的解析式;

(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C,使△AOC的周長最?若存在,求出點C的坐標;若不存在,請說明理由;

(4)在(2)中x軸下方的拋物線上是否存在一點P,過點P作x軸的垂線,交直線AB于點D,線段OD把△AOB分成兩個三角形.使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2:3?若存在,求出點P的坐標;若不存在,請說明理由.

解:(1)由題意得 OB• =

∴B(-2,0).

(2)設拋物線的解析式為y=ax(x+2),代入點A(1, ),得

,

(3)存在點C、過點A作AF垂直于x軸于點F,拋物線

的對稱軸x=-1交x軸于點E、當點C位于對稱軸

與線段AB的交點時,△AOC的周長最小,

∵△BCE∽△BAF,∴ ,

∴CE= = ,∴C(-1, ).

(4)存在、如圖,設p(x,y),直線AB為y=kx+b,則 解得 ,

∴直線AB為 ,SBPOD=SBPO+SBOD= |OB||YP|+ |OB||YD|=|YP|+|YD|

= ,

∵SAOD=SAOB-SBOD= - ×2×| x+ |=- x+ ,

= = ,

∴x1=- ,x2=1(舍去),

∴p(- ,- ),

又∵SBOD= x+

= = ,

∴x1=- ,x2=-2.

P(-2,0),不符合題意.

∴存在,點P坐標是(- ,- ).

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