Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（1，），△AOB的面積是．

（1）求點B的坐標；

（2）求過點A、O、B的拋物線的解析式；

（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使△AOC的周長最��？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由；

（4）在（2）中x軸下方的拋物線上是否存在一點P，過點P作x軸的垂線，交直線AB于點D，線段OD把△AOB分成兩個三角形．使其中一個三角形面積與四邊形BPOD面積比為2：3？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意得 OB• =

∴B（-2，0）．

（2）設拋物線的解析式為y=ax（x+2），代入點A（1， ），得 ，

∴ ，

（3）存在點C、過點A作AF垂直于x軸于點F，拋物線

的對稱軸x=-1交x軸于點E、當點C位于對稱軸

與線段AB的交點時，△AOC的周長最小，

∵△BCE∽△BAF，∴ ，

∴CE= = ，∴C（-1， ）．

（4）存在、如圖，設p（x，y），直線AB為y=kx+b，則 解得 ，

∴直線AB為 ，S_四BPOD=S_△BPO+S_△BOD= |OB||Y_P|+ |OB||Y_D|=|Y_P|+|Y_D|

= ，

∵S_△AOD=S_△AOB-S_△BOD= - ×2×| x+ |=- x+ ，

∴ = = ，

∴x₁=- ，x₂=1（舍去），

∴p（- ，- ），

又∵S_△BOD= x+ ，

∴ = = ，

∴x₁=- ，x₂=-2．

P（-2，0），不符合題意．

∴存在，點P坐標是（- ，- ）．