【題目】如圖1,將△ABC紙片沿中位線EH折疊,使點A對稱點D落在BC邊上,再將紙片分別沿等腰△BED和等腰△DHC的底邊上的高線EF,HG折疊,折疊后的三個三角形拼合形成一個矩形,類似地,對多邊形進行折疊,若翻折后的圖形恰能拼合成一個無縫隙、無重疊的矩形,這樣的矩形稱為疊合矩形.
(1)將□ABCD紙片按圖2的方式折疊成一個疊合矩形AEFG,則操作形成的折痕分別是線段_______,_________;S矩形AEFG:S□ABCD=__________.
(2)□ABCD紙片還可以按圖3的方式折疊成一個疊合矩形EFGH,若EF=5,EH=12,求AD的長;
(3)如圖4,四邊形ABCD紙片滿足AD∥BC,AD<BC,AB⊥BC,AB=8,CD=10,小明把該紙片折疊,得到疊合正方形,請你幫助畫出一種疊合正方形的示意圖,并求出AD、BC的長.
【答案】 AE GF 1:2
【解析】分析:(1)由圖可直接得到第一、二空答案,根據(jù)折疊的性質(zhì)可得△AEH與△ABE面積相等、梯形HFGA與梯形FCDG面積相等,據(jù)此不難得到第三空答案;
(2)對圖形進行點標(biāo)注,如圖所示:首先根據(jù)勾股定理求得FH的長,再根據(jù)折疊的性質(zhì)以及請到的知識可得AH=FN,HD=HN,然后根據(jù)線段和差關(guān)系即可得到AD的長;
(3)根據(jù)題目信息,動手這一下,然后將結(jié)合畫出來,再結(jié)合折疊的性質(zhì)以及勾股定理的知識分析解答即可.
詳解:(1)根據(jù)題意得:操作形成的折痕分別是線段AE、GF;
由折疊的性質(zhì)得:△ABE≌△AHE,四邊形AHFG≌四邊形DCFG,
∴△ABE的面積=△AHE的面積,四邊形AHFG的面積=四邊形DCFG的面積,
∴S矩形AEFG=S平行四邊形ABCD,
∴S矩形AEFG:S平行四邊形ABCD=1:2;
故答案為:AE,GF,1:2;
(2)∵四邊形EFGH是矩形,
∴∠HEF=90°,
∴FH==13,
由折疊的性質(zhì)得:AD=FH=13;
由折疊的對稱性可知:DH=NH,AH=HM,CF=FN.
易得△AEH≌CGF,
所以CF=AH,
所以AD=DH+AH=HN+FN=FH=13.
(3)有3種折法,如圖4、圖5、圖6所示:
①折法1中,如圖4所示:
由折疊的性質(zhì)得:AD=BG,AE=BE=AB=4,CF=DF=CD=5,GM=CM,∠FMC=90°,
∵四邊形EFMB是疊合正方形,
∴BM=FM=4,
∴GM=CM==3,
∴AD=BG=BM-GM=1,BC=BM+CM=7;
②折法2中,如圖5所示:
由折疊的性質(zhì)得:四邊形EMHG的面積=梯形ABCD的面積,AE=BE=AB=4,DG=NG,NH=CH,BM=FM,MN=MC,
∴GH=CD=5,
∵四邊形EMHG是疊合正方形,
∴EM=GH=5,正方形EMHG的面積=52=25,
∵∠B=90°,
∴FM=BM==3,
設(shè)AD=x,則MN=FM+FN=3+x,
∵梯形ABCD的面積=(AD+BC)×8=2×25,
∴AD+BC=,
∴BC=-x,
∴MC=BC-BM=-x-3,
∵MN=MC,
∴3+x=-x-3,
解得:x=,
∴AD=,BC=-=;
③折法3中,如圖6所示,作GM⊥BC于M,
則E、G分別為AB、CD的中點,
則AH=AE=BE=BF=4,CG=CD=5,正方形的邊長EF=GF=4,
GM=FM=4,CM==3,
∴BC=BF+FM+CM=11,F(xiàn)N=CF=7,DH=NH=8-7=1,
∴AD=5.
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【題目】如圖,P是線段AB上任一點,AB=12 cm,C、D兩點分別從P、B同時向A點運動,且C點的運動速度為2 cm/s,D點的運動速度為3 cm/s,運動的時間為t s.
(1)若AP=8 cm.
①運動1 s后,求CD的長;
②當(dāng)D在線段PB運動上時,試說明AC=2CD;
(2)如果t=2 s時,CD=1 cm,試探索AP的值.
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【題目】列方程或方程組解應(yīng)用題:
為了響應(yīng)學(xué)校提出的“節(jié)能減排,低碳生活”的倡議,班會課上小李建議每位同學(xué)都踐行“雙面打印,節(jié)約用紙”.他舉了一個實際例子:打印一份資料,如果用A4厚型紙單面打印,總質(zhì)量為400克,將其全部改成雙面打印,用紙將減少一半;如果用A4薄型紙雙面打印,總質(zhì)量為160克.已知每頁薄型紙比厚型紙輕0.8克,求例子中的A4厚型紙每頁的質(zhì)量.(墨的質(zhì)量忽略不計)
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【題目】如圖,實線部分為某月牙形公園的輪廓示意圖,它可看作是由⊙P上的一段優(yōu)弧和⊙Q上的一段劣弧圍成,⊙P與⊙Q的半徑都是2km,點P在⊙Q上.
(1)求月牙形公園的面積;
(2)現(xiàn)要在公園內(nèi)建一塊頂點都在⊙P上的直角三角形場地ABC,其中∠C=90°,求場地的最大面積.
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【題目】一個正方體的六個面上寫有六個連續(xù)的整數(shù).如圖,是此正方體的展開圖,相對面上兩個數(shù)之和相等,且個整數(shù)之和為,則________.
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【題目】某超市用3 000元購進某種干果銷售,由于銷售狀況良好,超市又調(diào)撥9 000元購進該種干果,但這次的進價比第一次的進價提高了20%,購進干果數(shù)量比第一次的2倍還多300 kg.如果超市按9元/kg的價格出售,當(dāng)大部分干果售出后,余下的600 kg按售價的八折售完.
(1)該種干果第一次的進價是多少?
(2)超市銷售這種干果共盈利多少元?
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【題目】如圖,等腰△ABC中,AB=AC,AD平分∠BAC,點E是線段BC延長線上一點,連接AE,點C在AE的垂直平分線上,若DE=10cm,則AB+BD=cm.
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【題目】已知如下命題:①三角形的中線、角平分線、高都是線段;②三角形的三條高必交于一點;③三角形的三條角平分線必交于一點;④三角形的三條高必在三角形內(nèi).其中正確的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
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