如圖,D是△ABC的邊BC的中點(diǎn),過AD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)E作AD的垂線EF,E為垂足,EF與AB的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F,點(diǎn)O在AD上,AO=CO,BC∥EF.
(1)證明:AB=AC;
(2)證明:點(diǎn)O是△ABC的外接圓的圓心;
(3)當(dāng)AB=5,BC=6時(shí),連接BE,若∠ABE=90°,求AE的長(zhǎng).
解:
(1)∵AE⊥EF, EF∥BC,∴AD⊥BC. (1分)
在△ABD和△ACD中,∵BD=CD,∠ADB=∠ADC,AD=AD,
∴△ABD≌△ACD. (或者:又∵BD=CD,∴AE是BC的中垂線.) (2分)
∴AB=AC. (3分)
(2)連BO,∵AD是BC的中垂線,∴BO=CO. (或者:證全等也可得到BO=CO.)
又AO=CO,∴AO=BO=CO. (4分)
∴點(diǎn)O是△ABC外接圓的圓心. (5分)
(3)解法1:
∵∠ABE=∠ADB=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠AEB+∠BAE=90°,
∴∠ABD=∠AEB. 又∵∠BAD=∠EAB, ∴△ABD∽△AEB.
∴ (或者:由三角函數(shù)得到) (6分)
在Rt△ABD中,∵AB=5,BD=BC=3, ∴AD=4. (7分)
∴AE=. (8分)
解法2:
∵AO=BO, ∴∠ABO=∠BAO.
∵∠ABE=90°,∴∠ABO+∠OBE=∠BAO+∠AEB=90°.
∴∠OBE=∠OEB, ∴OB=OE. (6分)
在 Rt△ABD中,∵AB=5,BD=BC=3,∴AD=4.
設(shè) OB=x, 則 OD=4-x,由32+(4-x)2=x2,解得x=. (7分)
∴AE=2OB=.(8分)
解法3:
設(shè)AO的延長(zhǎng)線與⊙O交于點(diǎn)E1,則AE1是⊙O的直徑, ∴∠ABE1=90°.
在Rt△ABE和Rt△ABE1中,∵∠BAE=∠BAE1,∠ABE=∠ABE1=90°,AB=AB,
∴△ABE≌△ABE1,∴AE=AE1. (6分) (同方法2) ∵BO=. (7分)
∴AE=2OB=. (8分)
【解析】略
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