Question

如圖，已知△ABC，按如下步驟作圖：
①分別以A，C為圓心，大于

1

2

AC的長為半徑畫弧，兩弧交于P，Q兩點；
②作直線PQ，分別交AB，AC于點E，D，連接CE；
③過C作CF∥AB交PQ于點F，連接AF．
（1）求證：△AED≌△CFD；
（2）求證：四邊形AECF是菱形．

Answer 1

考點：菱形的判定,全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，從而得到AE=CE，AD=CD，然后根據(jù)CF∥AB得到∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，利用ASA證得兩三角形全等即可；
（2）根據(jù)全等得到AE=CF，然后根據(jù)EF為線段AC的垂直平分線，得到EC=EA，F(xiàn)C=FA，從而得到EC=EA=FC=FA，利用四邊相等的四邊形是菱形判定四邊形AECF為菱形．

解答：解：（1）由作圖知：PQ為線段AC的垂直平分線，
∴AE=CE，AD=CD，
∵CF∥AB
∴∠EAC=∠FCA，∠CFD=∠AED，
在△AED與△CFD中，

∠EAC=∠FCA AD=CD ∠CFD=∠AED

，
∴△AED≌△CFD；

（2）∵△AED≌△CFD，
∴AE=CF，
∵EF為線段AC的垂直平分線，
∴EC=EA，F(xiàn)C=FA，
∴EC=EA=FC=FA，
∴四邊形AECF為菱形．

點評：本題考查了菱形的判定、全等的判定與性質(zhì)及基本作圖，解題的關(guān)鍵是了解通過作圖能得到直線的垂直平分線．