Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，P是射線AB上的一個動點，以點P為圓心，PA為半徑的⊙P與射線AC的另一個交點為D，直線PD交直線BC于點E．
（1）若點D是AC的中點，則⊙P的半徑為

 

；
（2）若AP=2，求CE的長；
（3）當以BE為直徑的圓和⊙P外切時，求⊙P的半徑；
（4）設(shè)線段BE的中點為Q，射線PQ與⊙P相交于點I，點P在運動的過程中，能否使點D、C、I、P構(gòu)成一個平行四邊形？若能，請求出AP的長；若不能，請說明理由．

Answer 1

考點：圓的綜合題

專題：

分析：（1）過點P作PF⊥y軸于點F，由銳角三角函數(shù)的定義得出tan∠PAF=

PF

AF

=

BC

AC

=

3

4

，再根據(jù)垂徑定理得出AF的長，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；
（2）由相似三角形的判定定理得出△ABC∽△DEC，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理求出AB的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)論；
（3）設(shè)BE的中點為Q，連接PQ，AP=x，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出PQ⊥BE，根據(jù)平行線分線段成比例定理得出

PQ

AC

=

PB

AB

=

BQ

BC

，再由切線的性質(zhì)可得出PQ=BQ，由此可得出結(jié)論；
（4）根據(jù)點P在線段AB上，點E在線段BC延長線上；點P在線段AB上，點E在線段BC上；點P在線段AB的延長線上三種情況進行分類討論．

解答：解：（1）過點P作PF⊥y軸于點F，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴tan∠PAF=

PF

AF

=

BC

AC

=

3

4

，
∵點D是AC的中點，
∴AD=2，
∴AF=1，
∴

PF

1

=

3

4

，解得PF=

3

4

，
∴AP=

AF2-PF2

=

12-( 3 4 )2

=

5

4

．
故答案為：

5

4

；

（2）∵AP=DP，
∴∠PAD=∠PDA．
∴∠PAD=∠CDE．
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴△ABC∽△DEC．
∴∠ABC=∠DEC，

BC

CE

=

AB

DE

．
∴PB=PE．
Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∵AC=4，BC=3，
∴AB=5．
∵AP=2，
∴PB=PE=3，DE=1，
∴

3

CE

=

5

1

，CE=

3

5

；

（3）如圖2，設(shè)BE的中點為Q，連接PQ，AP=x
∵PB=PE，
∴PQ⊥BE，
又∵∠ACB=90°，
∴PQ∥AC，
∴

PQ

AC

=

PB

AB

=

BQ

BC

，
∴

PQ

4

=

5-x

5

=

BQ

3

，
∴PQ=4-

4

5

x，BQ=3-

3

5

x． 
當以BE為直徑的圓和⊙P外切時，4-

4

5

x=x+3-

3

5

x．
解得x=

5

6

，即AP的長為

5

6

． 


（4）如果點P在線段AB上，點E在線段BC延長線上時（如圖2），由（2）知，△ABC∽△DEC，
∴

AC

DC

=

AB

DE

，
∴

4

DC

=

5

5-2x

，DC=

4

5

（2x-5），當DC=PI時，點D、C、I、P構(gòu)成一個平行四邊形，由DC=PI得，

4

5

（2x-5）=x，x=

20

13

．
如果點P在線段AB上，點E在線段BC上時（如圖3），DC=

4

5

（2x-5），當DC=PI時，點D、C、I、P構(gòu)成一個平行四邊形，由DC=PI得，

4

5

（2x-5）=x，x=

20

3

，
∵

20

3

＞5，與點P在線段AB上矛盾，
∴x=

20

3

（舍去）． 
如果（如圖4），點E在線段BC的延長線上時，DC=

4

5

（2x-5），當DC=PI時，點D、C、I、P構(gòu)成一個平行四邊形，由DC=PI得，

4

5

（2x-5）=x，x=

20

3

．
綜上，AP=

20

13

或AP=

20

3

．

點評：本題考查的是圓的綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定及平行線分線段成比例定理等知識，難度適中．