Question

20．如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA方向以4cm/秒的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒（0＜t≤15）．過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，EF．
（1）求證：AE=DF；
（2）四邊形AEFD能夠成為菱形嗎？如果能，求出t的值，如果不能，說(shuō)明理由；
（3）在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，四邊形BEDF能否為正方形？若能，求出t的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知條件可得RT△CDF中∠C=30°，即可知DF=$\frac{1}{2}$CD=AE=2t；
（2）由（1）知DF∥AE且DF=AE，即四邊形ADFE是平行四邊形，若構(gòu)成菱形，則鄰邊相等即AD=AE，可得關(guān)于t的方程，求解即可知；
（3）四邊形BEDF不為正方形，若該四邊形是正方形即∠EDF=90°，即DE∥AB，此時(shí)AD=2AE=4t，根據(jù)AD+CD=AC求得t的值，繼而可得DF≠BF，可得答案．

解答 解：（1）∵RT△ABC中，∠B=90°，∠A=60°，
∴∠C=90°-∠A=30°．
又∵在RT△CDF中，∠C=30°，CD=4t
∴DF=$\frac{1}{2}$CD=2t，
∴DF=AE；

（2）∵DF∥AB，DF=AE，
∴四邊形AEFD是平行四邊形，
當(dāng)AD=AE時(shí)，四邊形AEFD是菱形，
即60-4t=2t，解得：t=10，
即當(dāng)t=10時(shí)，四邊形AEFD是菱形； 

（3）四邊形BEDF不能為正方形，理由如下：
當(dāng)∠EDF=90°時(shí)，DE∥BC．
∴∠ADE=∠C=30°
∴AD=2AE
∵CD=4t，
∴DF=2t=AE，
∴AD=4t，
∴4t+4t=60，
∴t=$\frac{15}{2}$時(shí)，∠EDF=90°
但BF≠DF，
∴四邊形BEDF不可能為正方形．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形、菱形、正方形的判定是解題的關(guān)鍵．