Question

18．如圖，P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且PC=3，∠APB=135°，將△APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CP′B，連接PP′．若BP的長(zhǎng)為整數(shù)，則AP=$\sqrt{7}$或1．

Answer 1

分析 根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得∠APB=∠CP'B=135°、∠ABP=∠CBP'、BP=BP'、AP=CP'，由∠ABP+∠PBC=90°知△BPP'是等腰直角三角形，進(jìn)而根據(jù)∠CP'B=135°可得∠PP'C=90°，設(shè)BP=BP'=a、AP=CP'=b，在RT△PP'C中根據(jù)勾股定理可得CP'=$\sqrt{9-2{a}^{2}}$，最后由BP的長(zhǎng)a為整數(shù)可得AP．

解答 解：∵△BP'C是由△BPA旋轉(zhuǎn)得到，
∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，
∵∠ABP+∠PBC=90°，
∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，
∴△BPP'是等腰直角三角形，
∴∠BP'P=45°，
∵∠APB=∠CP'B=135°，
∴∠PP'C=90°，
設(shè)BP=BP'=a，AP=CP'=b，
則PP'=$\sqrt{2}$a，
在RT△PP'C中，∵PP'²+P'C²=PC²，且PC=3，
∴CP'=$\sqrt{P{C}^{2}-PP{'}^{2}}$=$\sqrt{9-2{a}^{2}}$，
∵BP的長(zhǎng)a為整數(shù)，
∴滿足上式的a為1或2，
當(dāng)a=1時(shí)，AP=CP'=$\sqrt{7}$，
當(dāng)a=2時(shí)，AP=CP'=1，
故答案為：$\sqrt{7}$或1．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)、定理得出a、b間的關(guān)系式是關(guān)鍵．