Question

【題目】如圖，直線y=2x+2與y軸交于A點(diǎn)，與反比例函數(shù)（x＞0）的圖象交于點(diǎn)M，過(guò)M作MH⊥x軸于點(diǎn)H，且tan∠AHO=2．

（1）求k的值；

（2）點(diǎn)N（a，1）是反比例函數(shù)（x＞0）圖象上的點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得PM+PN最小？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）由y=2x+2可知A（0，2），即OA=2。

∵tan∠AHO=2，∴OH=1。

∵M(jìn)H⊥x軸，∴點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為1。

∵點(diǎn)M在直線y=2x+2上，

∴點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為4．即M（1，4）。

∵點(diǎn)M在上，∴k=1×4=4。

（2）存在。

∵點(diǎn)N（a，1）在反比例函數(shù)（x＞0）上，

∴a=4．即點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，1）。

過(guò)點(diǎn)N作N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N1，連接MN1，交x軸于P（如圖所示）。

此時(shí)PM+PN最小。

∵N與N1關(guān)于x軸的對(duì)稱，N點(diǎn)坐標(biāo)為（4，1），∴N1的坐標(biāo)為（4，﹣1）。

設(shè)直線MN1的解析式為y=kx+b。

由解得。

∴直線MN1的解析式為。

令y=0，得x=．

∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（，0）。

【解析】（1）根據(jù)直線解析式求A點(diǎn)坐標(biāo)，得OA的長(zhǎng)度；根據(jù)三角函數(shù)定義可求OH的長(zhǎng)度，得點(diǎn)M的橫坐標(biāo)；根據(jù)點(diǎn)M在直線上可求點(diǎn)M的坐標(biāo)．從而可求K的值；

（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式可求N點(diǎn)坐標(biāo)；作點(diǎn)N關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)N1，連接MN1與x軸的交點(diǎn)就是滿足條件的P點(diǎn)位置：

根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，線段中垂線的性質(zhì)和三角形三邊關(guān)系，對(duì)x軸上任一點(diǎn)P1，總有

P1M＋P1N＞MN1=PM＋PN。