Question

如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E．
（1）求證：∠1=∠2；
（2）若∠1=30°，AB=4，求弦CD的長．

Answer 1

（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，
∴=，∴∠1=∠2；

（2）解：連接OC．
∵∠1=30°，
∴∠COE=60°（同弧所對的圓周角是所對的圓心角的一半）；
又∵AB=4，
∴OC=2；
∵CD⊥AB于點E，
∴CE=DE（垂徑定理），
sin∠COE=，
∴CE=2×，
∴CD=2CE=2．
分析：（1）由圓的圓周角、弦、弧的關(guān)系證明∠1=∠2；
（2）連接OC．根據(jù)圓周角定理求得直角三角形CEO的一銳角∠COE=2∠1=60°；然后由垂徑定理求得CE=DE；最后在直角三角形CEO中，利用三角函數(shù)來求CD=2DE．
點評：本題考查了解直角三角形、垂徑定理．解答（2）時，通過作輔助線OC構(gòu)建直角△OEC，在直角△OEC中，利用三角函數(shù)值求得相關(guān)線段的長度．