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7.如圖,在平面直角坐標系中,矩形OABC的三個頂點分別是A(3,0),B(3,4),C(0,4),點D在BC上,以D為頂點的拋物線經(jīng)過點A,與x軸的另一個交點為E,且對稱軸為x=1.
(1)求拋物線的解析式;
(2)點P(m,0)是x軸的正半軸上的一個動點,過點P作DE的平行線,與折線C-B-A交于點Q,與拋物線交于點H,連接DE、AC、DE與OC、AC的交點分別為F,G.
①求△DGQ的面積S與m的函數(shù)關(guān)系式;
②當m為何值時,以點D、F、H、P為頂點的四邊形為平行四邊形.

分析 (1)由條件可先得出拋物線頂點坐標,從而直接將拋物線解析式設為頂點式,再將A點坐標代入即可求出解析式;
(2)①由△CDG∽△AEG算出DG,由于PQ∥DE,所以,過P作PM⊥DE于M,由△PEM∽FEO算出PM即可求出△DGQ的面積;
②分兩種情況討論:
當P在線段OA上,且PH∥DF,PH=DF時,四邊形DFPH為平行四邊形;
當P在線段OA的延長線上,且PH∥DF,PH=DF時,四邊形DFPH為平行四邊形.

解答 解:(1)∵拋物線的頂點D的坐標為(1,4),
∴設拋物線的解析式為y=a(x-1)2+4,
把點A的坐標為(3,0)代入拋物線的解析式得:4a+4=0
解得a=-1.
∴拋物線的解析式為y=-(x-1)2+4,即y=-x2+2x+3.
(2)①當y=0時,-x2+2x+3=0.
解得x1=-1,x2=3,
∴E點坐標為(-1,0),AE=4.
∴OE=CD=1,
∴△EOF≌△DCF.
∴OF=CF=12,OC=2.
根據(jù)勾股定理,EF=DF=25
∴DE=45
∵CD∥AE,∴△CDG∽△AEG,∴DGGE=CDAE=14
∴DG=15,DE=255
過點P作PM⊥DE,垂足為M,如圖,

則△PEM∽FEO,得PMPE=OFEF
PMm+1=25,
∴PM=255m+1,
∴△DGQ的面積S與m的函數(shù)關(guān)系式為:
S=12DG•PM=12×255×255(m+1),即S=25m+25(0≤m≤3).

②分兩種情況:
如圖,當P在線段OA上,且PH∥DF,PH=DF時,四邊形DFPH為平行四邊形,

過H作HN⊥OA,垂足為N,這時易證△CDF≌△NPH,
∴PN=CD=1,HN=CF=2,
∴H點的坐標為(m+1,2)把H點的坐標代入拋物線的解析式得:
-(m+1)2+2(m+1)+3=2
解得m=2或m=-2(不合題意,舍去)

如圖,當P在線段OA的延長線上,且PH∥DF,PH=DF時,

四邊形DFHP為平行四邊形,
過H作HN′⊥OA,垂足為N′,同理可得△CDF≌N′PH,
∴PN′=CD=1,HN′=CF=2,
∴H點的坐標為(m-1,-2)
把H點的坐標代入拋物線的解析式得:
-(m-1)2+2(m-1)+3=-2,
解得m=2+6或m=2-6(不合題意,舍去)
∴當m的值為2或2+6時,以點D,F(xiàn),H,P為頂點的四邊形為平行四邊形.

點評 本題是二次函數(shù)綜合題,主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形面積求法、平行四邊形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法等知識點,難度中等.注意最后一問分類討論思想的應用.

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