Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為-8．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為C，交直線AB于點(diǎn)D，作PE⊥AB于點(diǎn)E．
①設(shè)△PDE的周長為l，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，求l關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出l的最大值；
②連接PA，以PA為邊作圖示一側(cè)的正方形APFG．隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，正方形的大小、位置也隨之改變．當(dāng)頂點(diǎn)F或G恰好落在y軸上時(shí)，直接寫出對應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數(shù)法求出b，c即可；
（2）①根據(jù)△AOM∽△PED，得出DE：PE：PD=3：4：5，再求出PD=y_P-y_D求出二函數(shù)最值即可；
②當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，即，解得，
所以得出P點(diǎn)坐標(biāo)，當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，x=--x+，解得x=，可得P點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）對于，當(dāng)y=0，x=2．當(dāng)x=-8時(shí)，y=-．
∴A點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），B點(diǎn)坐標(biāo)為．
由拋物線經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
得
解得．
∴．

（2）①設(shè)直線與y軸交于點(diǎn)M，
當(dāng)x=0時(shí)，y=．∴OM=．
∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），∴OA=2．∴AM=．
∵OM：OA：AM=3：4：5．
由題意得，∠PDE=∠OMA，∠AOM=∠PED=90°，∴△AOM∽△PED．
∴DE：PE：PD=3：4：5．
∵點(diǎn)P是直線AB上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，
∵PD⊥x軸，
∴PD兩點(diǎn)橫坐標(biāo)相同，
∴PD=y_P-y_D=--x+-（x-）
=-x²-x+4，
∴
=．
∴．
∴x=-3時(shí)，l_最大=15．
②當(dāng)點(diǎn)G落在y軸上時(shí)，如圖2，由△ACP≌△GOA得PC=AO=2，
即，解得，
所以，
如圖3，過點(diǎn)P作PN⊥y軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)P作PS⊥x軸于點(diǎn)S，
由△PNF≌△PSA，
PN=PS，可得P點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，
故得當(dāng)點(diǎn)F落在y軸上時(shí)，
x=--x+，解得x=，
可得，（舍去）．
綜上所述：滿足題意的點(diǎn)P有三個(gè)，分別是
．
點(diǎn)評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及相似三角形的判定以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析以及靈活應(yīng)用相似三角形的判定是解決問題的關(guān)鍵．