Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)（2，6），且與直線y=x+1相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸上，過點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若P是直線AB上方該拋物線上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，求線段PE的最大值；

（3）在（2）的條件，設(shè)PC與AB相交于點(diǎn)Q，當(dāng)線段PC與BE相互平分時，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）y=-x2+x+1；（2）4；（3）（，），（，）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意得出B點(diǎn)坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）首先表示出P，E點(diǎn)坐標(biāo)，再利用PE=PD-ED，結(jié)合二次函數(shù)最值求法進(jìn)而求出PE的最大值；

（3）根據(jù)題意可得：PE=BC，則-x2+4x=3，進(jìn)而求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再利用直線上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出答案．

試題解析：（1）∵BC⊥x軸，垂足為點(diǎn)C（4，0），且點(diǎn)B在直線y=x+1上，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（4，3），

∵拋物線y=ax2+bx+1經(jīng)過點(diǎn)（2，6）和點(diǎn)B（4，3），

∴，

解得：，

故拋物線的解析式為：y=-x2+x+1；

（2）如圖所示：設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為；（x，-x2+x+1），

則點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（x， x+1），

∵PD⊥x軸于點(diǎn)D，且點(diǎn)P在x軸上，

∴PE=PD-ED=（-x2+x+1）-（x+1）

=-x2+4x

=-（x-2）2+4，

則當(dāng)x=2時，PE的最大值為：4；

（3）∵PC與BE互相平分，

∴PE=BC，

∴-x2+4x=3，即x2-4x+3=0，

解得：x1=1，x2=3，

∵點(diǎn)Q分別時PC，BE的中點(diǎn)，且點(diǎn)Q在直線y=x+1，

∴①當(dāng)x=1時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，），

②當(dāng)x=3時，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為：，

∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，），

綜上所述，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：（，），（，）．