Question

【題目】如圖所示，△ABC的外接圓⊙O的半徑為2，過點C作∠ACD=∠ABC，交BA的延長線于點D，若∠ABC=45°，∠D=30°．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）求 的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OA、OC．則∠AOC=2∠ABC=90°，

∵在△AOC中，OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC=45°，

又∵∠ACD=45°，

∴∠OCD=∠OCA+∠ACD=45°+45°=90°，

∴OC⊥CD．

即CD是⊙O的切線

（2）解：連接OB．

∵∠ABC=45°，∠D=30°，∠ACD=∠ABC=45°，

∴在△BCD中，∠BCD=180°﹣∠ABC﹣∠D=180°﹣45°﹣30°=105°，

∴∠ACB=∠BCD﹣∠ACD=105°﹣45°=60°，

∴∠AOB=2∠ACB=120°，

∴ 的長為： = ．

【解析】（1）證明：連接OA、OC，得到∠AOC=2∠ABC=90°，求得∠OCA=∠OAC=45°，于是得到OC⊥CD．由切線的判定定理即可得到結論；（2）連接OB．根據(jù)三角形的內角和得到∠ACB=∠BCD﹣∠ACD=105°﹣45°=60°，由圓周角定理得到∠AOB=2∠ACB=120°，根據(jù)弧長公式即可得到結論．
【考點精析】通過靈活運用三角形的外接圓與外心和切線的判定定理，掌握過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心；切線的判定方法：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線即可以解答此題．