Question

如圖，已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過原點O和x軸上的另一點A，它的對稱軸直線x=2與x軸交于點C，直線y=2x+1經(jīng)過拋物線上一點B（-2，m），且與y軸、直線x=2分別交于D、E．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）求證：D是BE的中點；
（3）若點P（x、y）是拋物線對稱軸上的一個動點，是否存在這樣的點P，使得△PBE是以PE為腰的等腰三角形？若存在，請直接寫出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：∵點B（-2，m）在直線y=2x+1上，
∴2×（-2）+1=m，
解得m=-3，
∴B（-2，-3），
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過原點O和x軸上的另一點A，它的對稱軸直線x=2，
∴A（4，0），
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過點O、A、B，
∴，
解得，
∴二次函數(shù)解析式為：y=-x²+x；

（2）證明：∵直線y=2x+1與y軸、直線x=2分別交于D、E，
∴x=0時，y=1，
x=2時，y=2×2+1=5，
∴點D、E的坐標分別為：D（0，1）、E（2，5），
∴BD==2，DE==2，
∴BD=DE，
即D是BE的中點；

（3）解：拋物線的對稱軸上存在這樣的點P，使得△PBE是以PE為腰的等腰三角形．
①當PE=BE時，根據(jù)（2）的結(jié)論，PE=BD+DE=2+2=4，
所以點P（2，5+4）或 P（2，5-4），
②當PE=PB時，設點P坐標為（2，n），
則PB==，
PE=|n-5|，
所以=|n-5|，
兩邊平方得，16+9+6n+n²=n²-10n+25，
解得n=0，
所以點P的坐標為P（2，0）．
分析：（1）把點B的坐標代入直線y=2x+1求出m的值，從而得到點B的坐標，再根據(jù)拋物線的對稱性求出點A的坐標，然后利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可；
（2）令x=0，x=2求出點D、E的坐標，再根據(jù)兩點之間的距離公式列式求出BD、DE的長度即可得證；
（3）因為腰不明確，所以分①PE=BE，根據(jù)BE的長度，分點P在點E的上方與下方兩種情況寫出，②PE=PB，設點P的坐標為（2，n）根據(jù)兩點間的距離公式列式求出n的值為0，從而最后得解．
點評：本題是對二次函數(shù)的綜合考查，有待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，兩點間的距離公式，以及等腰三角形的兩腰相等，熟練運用兩點間的距離公式是解題的關鍵．