Question

對(duì)于正數(shù)x，規(guī)定f（x）=

x2

1+x2

，
（1）計(jì)算f（2）=

 

；f（

3

）=

 

；f（2）+f（

1

2

）=

 

；f（3）+f（

1

3

）=

 

．
（2）猜想f（x）+f(

1

x

)=

 

；請(qǐng)予以證明．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入所給解析式計(jì)算即可；把x=

3

代入所給解析式計(jì)算即可；把x=

1

2

代入所給解析式得到相應(yīng)的結(jié)果后加上當(dāng)x=2時(shí)的結(jié)果即為f（2）+f（

1

2

）的值；把x=3，x=

1

3

代入所給解析式可得相應(yīng)的函數(shù)值，相加即為f（3）+f（

1

3

）的結(jié)果；
（2）由（2）可得兩個(gè)自變量互為倒數(shù)的函數(shù)值的和為1，把x，

1

x

分別代入所給函數(shù)解析式，進(jìn)而把函數(shù)值相加即可．

解答：解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，

x2

1+ x2

=

4

5

；當(dāng)x=

3

時(shí)，

x2

1+ x2

=

3

4

；當(dāng)x=

1

2

時(shí)，

x2

1+ x2

=

1

5

∴f（2）+f（

1

2

）=1；
∵f（3）=

9

10

，f（

1

3

）=

1

10

，
∴f（3）+f（

1

3

）=1．
（2）1．
證明：f(x)+f(

1

x

)=

x2

1+x2

+

1 x2

1+ 1 x2

=

x2

1+x2

+

1

x2+1

=1．

點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的自變量以得到準(zhǔn)確的函數(shù)值；注意把所得規(guī)律進(jìn)行應(yīng)用．