Question

2．△ABC為等邊三角形，G，H分別從C，A出發(fā)，以等速沿CA，AB運(yùn)動(dòng)，連CH，BG交于F．
（1）求∠BFH；
（2）當(dāng)CF=2BF時(shí)，證明：BC⊥BG．

Answer 1

分析 （1）利用△ABC為等邊三角形，G，H分別從C，A出發(fā)，以等速沿CA，AB運(yùn)動(dòng)，證明△CBH≌△GBA（SAS），得到∠HCB=∠GBA，再利用對頂角相等證明∠HCB=∠HBF，根據(jù)∠BFH=∠HCB+∠CBF，即可解答；
（2）（2）如圖，在FG上取一點(diǎn)E使BE=BF，連接CE，證明△CFE為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)即可得到CB⊥FG．

解答 解：（1）∵G，H分別從C，A出發(fā)，以等速沿CA，AB運(yùn)動(dòng)，
∴CG=AH，
∵△ABC為等邊三角形，
∴AC=AB，∠ABC=∠BAC=60°，
∴CG-AC=AH-AB，即AG=BH，
∠CBH=180°-∠ABC=120°，∠BAG=180°-∠BAC=120°，
∴∠CBH=∠BAG，
在△CBH和△GBA中，
$\left\{\begin{array}{l}{BH=AG}\\{∠CBH=∠GAB}\\{CB=BA}\end{array}\right.$
∴△CBH≌△GBA（SAS），
∴∠HCB=∠GBA，
∵∠GBA=∠HBF，
∴∠HCB=∠HBF，
∵∠BFH=∠HCB+∠CBF，
∴∠BFH=∠HBF+∠CBF=∠CBH=120°．
（2）如圖，在FG上取一點(diǎn)E使BE=BF，連接CE，

∵∠BFH=120°，
∴∠BFC=60°，
∵CF=2BF，BF=BE，
∴FC=FE，
∴△CFE為等邊三角形，
∵B為EF的中點(diǎn)，
∴CB⊥EF，
∵F，B，G，E在同一條直線上，
∴CB⊥FG．

點(diǎn)評 本題考查了全等三角形的性質(zhì)定理與判定定理、等邊三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)建全等三角形．